IV.2. Stabilité
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au moins n y en tout y i , pour y ∈ Y − {0} et i = 1, . . . , n. Soit ϕ ∈ H n . Pour
i = 1, . . . , n, introduisons la fonction φ i sur h
∗ définie par
φ i (ν) = ϕ(0, . . . , 0, ν i , . . . , ν n )
j=1,...,i−1
h(ν j ).
Elle est de Paley–Wiener. Elle s’annule à l’ordre au moins n 0 en 0 car il en est
ainsi du premier facteur. Le deuxième facteur s’annule à l’ordre au moins (i − 1)n y
en tout point y ∈ Y − {0}. Si i ≥ 2, φ i s’annule donc à l’ordre au moins n y en un
tel point. Si i = 1, on a simplement φ 1 = ϕ et cette propriété est encore vérifiée
par hypothèse. Donc φ i ∈ H n . Par construction, pour i = 1, . . . , n − 1, la fonction
φ i −φ i+1 s’annule sur l’hyperplan ν i = 0. En posant φ n+1 = 0, il en est de même de
la fonction φ n −φ n+1 car ϕ s’annule en 0. On sait qu’une fonction de Paley–Wiener
qui s’annule sur un tel hyperplan ν i = 0 est divisible dans H par ν i . Il existe donc
pour tout i = 1, . . . , n un élément ϕ i ∈ H tel que ν i ϕ i (ν) = φ i (ν) − φ i+1 (ν). Il est
clair que ϕ i appartient à H n . On a d’autre part l’égalité
i=1,...,n
ν i ϕ i (ν) = φ 1 (ν) − φ n+1 (ν) = ϕ(ν),
ce qui réalise ϕ comme un élément de P 0 H n . Cela prouve (3) et (2).
En appliquant (2) à l’ensemble Y = μ(˜ σ) et à la famille n = (n y ) y∈Y telle
que n y soit pour tout y un entier vérifiant la relation (1), on obtient
(4) il existe un entier N tel que toute fonction ϕ ∈ H qui s’annule à l’ordre au
moins N en tout point de μ(˜ σ) appartienne à JH.
Fixons un tel entier N . Notons maintenant Y l’ensemble des projections dans
h
˜
L,∗ des éléments de μ(˜ σ). Il contient μ(˜ π) par hypothèse. Fixons une fonction
de Paley–Wiener h sur h
˜
L,∗ qui vaut 1 en tout point de μ(˜ π) et qui s’annule à
l’ordre au moins N en tout point de Y − μ(˜ π). Soit ϕ ∈ F s’annulant à l’ordre
au moins N en tout λ i , i = 1, . . . , m. Définissons une fonction ϕ
sur h
∗ par
ϕ
(λ
˜
L + λ ˜
L ) = h(λ
˜
L )ϕ(λ ˜
L ), pour λ
˜
L
∈ h
˜
L,∗ et λ ˜
L ∈ A
∗
˜
L,C
. C’est un élément de H
qui s’annule à l’ordre au moins N en tout point de μ(˜ σ). Appliquant (4), on peut
l’écrire
ϕ
=
j=1,...,k
z j ϕ
j ,
où les z j appartiennent à J et les ϕ
j appartiennent à H. On fixe un élément
x 0 ∈ μ(˜ π) et on définit pour tout j une fonction ϕ j sur A
∗
˜
L,C
par ϕ j (λ) = ϕ
j (x 0 +λ).
C’est un élément de F . Pour λ ∈ A
∗
˜
L,C
, on a l’égalité
ϕ(λ) = ϕ
(x 0 + λ) =
j=1,...,k
z j (μ(˜ π) + λ)ϕ j (λ).
Autrement dit, ϕ =
j=1,...,k z j ϕ j et ϕ appartient à JF . Cela achève la preuve.