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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
F . Notons Y la projection de μ(˜ σ) sur h
˜
L,∗ L’hypothèse signifie que μ(˜ π) ∩ Y = ∅.
Pour tout x ∈ μ(˜ π), on peut alors trouver un polynôme q x de degré 1 sur h
˜
L,∗ tel
que q x (x) = 0 et q x (y) = 0 pour tout y ∈ Y . Posons q =
x∈μ(˜ π) q x . Considérons q
comme un polynôme sur h
∗ via la projection h
∗
→ h
˜
L,∗ . Définissons un polynôme
z 0 par z 0 (ν) =
w∈W q(wν). Il est invariant par W donc appartient à Z(G). Il
s’annule sur μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
car le polynôme q lui-même s’annule sur cet ensemble.
Pour ν ∈ μ(˜ σ) et w ∈ W , wν appartient aussi à μ(˜ σ) et se projette sur h
˜
L,∗ en un
point y ∈ Y . On a alors q(wν) = q(y) = 0. Donc z 0 (ν) = 0, ce que l’on peut noter
z 0 (μ(˜ σ)) = 0 puisque z 0 est invariant par W . Posons z = 1 − z 0 (μ(˜ σ))
−1 z 0 . Cet
élément répond à la question.
Preuve de (ii). Notons P l’espace des polynômes sur h
∗ . On montre d’abord
(1) il existe un entier N ≥ 1 tel que tout élément de P qui s’annule à l’ordre au
moins N en tout point de μ(˜ σ) appartient à JP.
Rappelons que Z(G) est le sous-espace des invariants par W dans P. Comme
on sait, on peut fixer un sous-ensemble (h w ) w∈W de P tel que tout élément Q ∈ P
s’écrive de façon unique Q =
w∈W h w Q w , avec Q w ∈ Z(G). On peut de plus
fixer un élément non nul D ∈ P et une matrice (D w,w ) w,w ∈W d’éléments de P
de sorte que, pour tout w ∈ W et tout λ ∈ h
∗ , on ait l’égalité
D(λ)Q w (λ) =
w ∈W
D w,w (λ)Q(w
λ).
On renvoie pour cela à [25] preuve de la proposition 3.3. Notons N −1 le maximum
des ordres d’annulation de D aux différents points de μ(˜ σ). Il résulte de la formule
ci-dessus que, si Q s’annule à l’ordre N en tout point de μ(˜ σ), alors chaque Q w
s’annule sur μ(˜ σ). Puisque Q w ∈ Z(G), cela signifie que Q w ∈ J. Mais alors
Q =
w∈W h w Q w appartient à JP. Cela prouve (1).
Notons H l’espace des fonctions de Paley–Wiener sur h
∗ . Soit Y un ensemble
fini d’éléments de h
∗ et soit n = (n y ) y∈Y une famille d’entiers naturels. Notons
H n , resp. P n , l’espace des éléments de H, resp. P, qui s’annulent en tout point
y ∈ Y à l’ordre au moins n y . On va montrer
(2) on a l’égalité H n = P n H.
C’est trivial si tous les n y sont nuls. Supposons qu’il existe un y pour lequel
n y > 0, fixons-en un que l’on note y 0 . Notons n
= (n
y ) y∈Y , où n
y = n y si
y = y 0 et n
y0 = n y0 − 1. Notons P y0 l’espace des polynômes qui s’annulent en y 0 .
L’assertion (2) résulte par récurrence de l’assertion
(3) on a l’égalité H n = P y0 H n .
On ne perd rien à supposer y 0 = 0. On peut fixer un système de coordonnées
sur h
∗
R de sorte que les coordonnées y 1 , . . . , y n de y soient toutes non nulles pour
y ∈ Y , y = 0. On écrit tout élément de h
∗ sous la forme ν = (ν 1 , . . . , ν n ). Fixons
une fonction de Paley–Wiener h sur C telle que h(0) = 1 et h s’annule à l’ordre
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
F . Notons Y la projection de μ(˜ σ) sur h
˜
L,∗ L’hypothèse signifie que μ(˜ π) ∩ Y = ∅.
Pour tout x ∈ μ(˜ π), on peut alors trouver un polynôme q x de degré 1 sur h
˜
L,∗ tel
que q x (x) = 0 et q x (y) = 0 pour tout y ∈ Y . Posons q =
x∈μ(˜ π) q x . Considérons q
comme un polynôme sur h
∗ via la projection h
∗
→ h
˜
L,∗ . Définissons un polynôme
z 0 par z 0 (ν) =
w∈W q(wν). Il est invariant par W donc appartient à Z(G). Il
s’annule sur μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
car le polynôme q lui-même s’annule sur cet ensemble.
Pour ν ∈ μ(˜ σ) et w ∈ W , wν appartient aussi à μ(˜ σ) et se projette sur h
˜
L,∗ en un
point y ∈ Y . On a alors q(wν) = q(y) = 0. Donc z 0 (ν) = 0, ce que l’on peut noter
z 0 (μ(˜ σ)) = 0 puisque z 0 est invariant par W . Posons z = 1 − z 0 (μ(˜ σ))
−1 z 0 . Cet
élément répond à la question.
Preuve de (ii). Notons P l’espace des polynômes sur h
∗ . On montre d’abord
(1) il existe un entier N ≥ 1 tel que tout élément de P qui s’annule à l’ordre au
moins N en tout point de μ(˜ σ) appartient à JP.
Rappelons que Z(G) est le sous-espace des invariants par W dans P. Comme
on sait, on peut fixer un sous-ensemble (h w ) w∈W de P tel que tout élément Q ∈ P
s’écrive de façon unique Q =
w∈W h w Q w , avec Q w ∈ Z(G). On peut de plus
fixer un élément non nul D ∈ P et une matrice (D w,w ) w,w ∈W d’éléments de P
de sorte que, pour tout w ∈ W et tout λ ∈ h
∗ , on ait l’égalité
D(λ)Q w (λ) =
w ∈W
D w,w (λ)Q(w
λ).
On renvoie pour cela à [25] preuve de la proposition 3.3. Notons N −1 le maximum
des ordres d’annulation de D aux différents points de μ(˜ σ). Il résulte de la formule
ci-dessus que, si Q s’annule à l’ordre N en tout point de μ(˜ σ), alors chaque Q w
s’annule sur μ(˜ σ). Puisque Q w ∈ Z(G), cela signifie que Q w ∈ J. Mais alors
Q =
w∈W h w Q w appartient à JP. Cela prouve (1).
Notons H l’espace des fonctions de Paley–Wiener sur h
∗ . Soit Y un ensemble
fini d’éléments de h
∗ et soit n = (n y ) y∈Y une famille d’entiers naturels. Notons
H n , resp. P n , l’espace des éléments de H, resp. P, qui s’annulent en tout point
y ∈ Y à l’ordre au moins n y . On va montrer
(2) on a l’égalité H n = P n H.
C’est trivial si tous les n y sont nuls. Supposons qu’il existe un y pour lequel
n y > 0, fixons-en un que l’on note y 0 . Notons n
= (n
y ) y∈Y , où n
y = n y si
y = y 0 et n
y0 = n y0 − 1. Notons P y0 l’espace des polynômes qui s’annulent en y 0 .
L’assertion (2) résulte par récurrence de l’assertion
(3) on a l’égalité H n = P y0 H n .
On ne perd rien à supposer y 0 = 0. On peut fixer un système de coordonnées
sur h
∗
R de sorte que les coordonnées y 1 , . . . , y n de y soient toutes non nulles pour
y ∈ Y , y = 0. On écrit tout élément de h
∗ sous la forme ν = (ν 1 , . . . , ν n ). Fixons
une fonction de Paley–Wiener h sur C telle que h(0) = 1 et h s’annule à l’ordre