IV.2. Stabilité
449
Commençons la preuve de la proposition. Si ˜
L = ˜
G, l’assertion résulte
du lemme 2.2. On suppose donc ˜
L propre et on raisonne par récurrence sur
a ˜
L = dim(A ˜
L ) en supposant la proposition démontrée pour tout couple ( ˜
L
, ˜
π
)
analogue à ( ˜
L, ˜
π) tel que a ˜
L < a ˜
L . On note simplement F l’espace des fonctions de Paley–Wiener sur A
∗
˜
L,C
et on identifie P W ˜
π ( ˜
L) à F . Pour ϕ ∈ F, on
pose f ϕ = pw
−1
◦ sym
W (ϕ). Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) un espace de Levi propre de ˜
G.
En notant pw
˜
M l’analogue de pw pour l’espace ˜
M , le terme pw
˜
M (f ϕ, ˜
M ) se déduit aisément de pw(f ϕ ). On voit qu’il n’a de composantes non nulles que dans
les sous-espaces P W
∞,inst
ell,0
( ˜
L
) pour des ˜
L
⊂ ˜
M conjugués à ˜
L. En appliquant le
théorème par récurrence à ˜
M , on voit que f ϕ, ˜
M appartient à I
inst ( ˜
M (R)). Cela
étant vrai pour tout ˜
M propre, les intégrales orbitales stables de f ϕ sont donc
nulles sur tout élément fortement régulier non elliptique de ˜
G(R). Donc l’image de
f ϕ dans SI( ˜
G(R)) appartient au sous-espace SI cusp ( ˜
G(R)). D’après le lemme 2.2,
il existe un unique f
st
ϕ ∈ I
st
cusp ( ˜
G(R)) qui a même image que f ϕ dans SI( ˜
G(R)).
Il s’agit de prouver que f
st
ϕ est nul. Toujours d’après le lemme 2.2, on peut fixer
˜
σ 0 ∈ B
st ( ˜
G), λ 0 ∈ iA
∗
˜
G
, poser ˜
σ = ˜
σ 0,λ0 et prouver que I
˜
G (˜ σ, f
st
ϕ ) = 0. Pour
ϕ ∈ F, posons (ϕ) = I
˜
G (˜ σ, f
st
ϕ ). Etudions l’application linéaire sur F . Rappelons que Z(G) agit naturellement sur F : pour z ∈ Z(G), ϕ ∈ F et λ ∈ A
∗
˜
L,C
, on a
(zϕ)(λ) = z(μ(˜ π) + λ)ϕ(λ). Parce que f
st
ϕ est uniquement déterminé, l’application
ϕ → f
st
ϕ est équivariante pour les actions de Z(G). Pour z ∈ Z(G), on a donc
(zϕ) = I
˜
G (˜ σ, z(f
st
ϕ )) = I
˜
G (z ˜
σ, f
st
ϕ ) = z(μ(˜ σ))I
˜
G (˜ σ, f
st
ϕ ) = z(μ(˜ σ))(ϕ).
Notons J l’idéal des éléments z ∈ Z(G) tels que z(μ(˜ σ)) = 0. Alors annule
JF . Les lemmes des deux paragraphes suivants nous permettrons de préciser cet
ensemble JF .
IV.2.5 Un lemme sur les fonctions de Paley–Wiener
On conserve les notations précédentes. Rappelons que μ(˜ π) est une W
L -orbite dans
h
˜
L,∗ et que μ(˜ σ) est une W -orbite dans h
∗ . Si l’intersection (μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
) ∩ μ(˜ σ)
est non vide, on note (λ i ) i=1,...,m la famille finie d’éléments de A
∗
˜
L,C
tels que cette
intersection soit la réunion des μ(˜ π) + λ i pour i = 1, . . . , m.
Lemme.
(i) Si (μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
) ∩ μ(˜ σ) = ∅, on a l’égalité JF = F .
(ii) Si cette intersection est non vide, il existe un entier N ≥ 1 tel que JF
contienne toute fonction ϕ ∈ F qui s’annule à l’ordre au moins N en chaque
point λ i pour i = 1, . . . , m.
Preuve de (i). On va montrer qu’il existe z ∈ J tel que sa restriction à μ(˜ π)+A
∗
˜
L,C
soit constante de valeur 1. L’assertion en résulte puisqu’alors ϕ = zϕ pour tout ϕ ∈
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Commençons la preuve de la proposition. Si ˜
L = ˜
G, l’assertion résulte
du lemme 2.2. On suppose donc ˜
L propre et on raisonne par récurrence sur
a ˜
L = dim(A ˜
L ) en supposant la proposition démontrée pour tout couple ( ˜
L
, ˜
π
)
analogue à ( ˜
L, ˜
π) tel que a ˜
L < a ˜
L . On note simplement F l’espace des fonctions de Paley–Wiener sur A
∗
˜
L,C
et on identifie P W ˜
π ( ˜
L) à F . Pour ϕ ∈ F, on
pose f ϕ = pw
−1
◦ sym
W (ϕ). Soit ˜
M ∈ L( ˜
M 0 ) un espace de Levi propre de ˜
G.
En notant pw
˜
M l’analogue de pw pour l’espace ˜
M , le terme pw
˜
M (f ϕ, ˜
M ) se déduit aisément de pw(f ϕ ). On voit qu’il n’a de composantes non nulles que dans
les sous-espaces P W
∞,inst
ell,0
( ˜
L
) pour des ˜
L
⊂ ˜
M conjugués à ˜
L. En appliquant le
théorème par récurrence à ˜
M , on voit que f ϕ, ˜
M appartient à I
inst ( ˜
M (R)). Cela
étant vrai pour tout ˜
M propre, les intégrales orbitales stables de f ϕ sont donc
nulles sur tout élément fortement régulier non elliptique de ˜
G(R). Donc l’image de
f ϕ dans SI( ˜
G(R)) appartient au sous-espace SI cusp ( ˜
G(R)). D’après le lemme 2.2,
il existe un unique f
st
ϕ ∈ I
st
cusp ( ˜
G(R)) qui a même image que f ϕ dans SI( ˜
G(R)).
Il s’agit de prouver que f
st
ϕ est nul. Toujours d’après le lemme 2.2, on peut fixer
˜
σ 0 ∈ B
st ( ˜
G), λ 0 ∈ iA
∗
˜
G
, poser ˜
σ = ˜
σ 0,λ0 et prouver que I
˜
G (˜ σ, f
st
ϕ ) = 0. Pour
ϕ ∈ F, posons (ϕ) = I
˜
G (˜ σ, f
st
ϕ ). Etudions l’application linéaire sur F . Rappelons que Z(G) agit naturellement sur F : pour z ∈ Z(G), ϕ ∈ F et λ ∈ A
∗
˜
L,C
, on a
(zϕ)(λ) = z(μ(˜ π) + λ)ϕ(λ). Parce que f
st
ϕ est uniquement déterminé, l’application
ϕ → f
st
ϕ est équivariante pour les actions de Z(G). Pour z ∈ Z(G), on a donc
(zϕ) = I
˜
G (˜ σ, z(f
st
ϕ )) = I
˜
G (z ˜
σ, f
st
ϕ ) = z(μ(˜ σ))I
˜
G (˜ σ, f
st
ϕ ) = z(μ(˜ σ))(ϕ).
Notons J l’idéal des éléments z ∈ Z(G) tels que z(μ(˜ σ)) = 0. Alors annule
JF . Les lemmes des deux paragraphes suivants nous permettrons de préciser cet
ensemble JF .
IV.2.5 Un lemme sur les fonctions de Paley–Wiener
On conserve les notations précédentes. Rappelons que μ(˜ π) est une W
L -orbite dans
h
˜
L,∗ et que μ(˜ σ) est une W -orbite dans h
∗ . Si l’intersection (μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
) ∩ μ(˜ σ)
est non vide, on note (λ i ) i=1,...,m la famille finie d’éléments de A
∗
˜
L,C
tels que cette
intersection soit la réunion des μ(˜ π) + λ i pour i = 1, . . . , m.
Lemme.
(i) Si (μ(˜ π) + A
∗
˜
L,C
) ∩ μ(˜ σ) = ∅, on a l’égalité JF = F .
(ii) Si cette intersection est non vide, il existe un entier N ≥ 1 tel que JF
contienne toute fonction ϕ ∈ F qui s’annule à l’ordre au moins N en chaque
point λ i pour i = 1, . . . , m.
Preuve de (i). On va montrer qu’il existe z ∈ J tel que sa restriction à μ(˜ π)+A
∗
˜
L,C
soit constante de valeur 1. L’assertion en résulte puisqu’alors ϕ = zϕ pour tout ϕ ∈