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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
l’application de symétrisation sym
W (ϕ) =
w∈W ( ˜
M0) w(ϕ). Soit ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ). On
munit D ell,0 ( ˜
L(R)) d’une base B( ˜
L) ayant les mêmes propriétés que la base B de
2.2. En particulier, B( ˜
L) est réunion de B
st ( ˜
L) et B
inst ( ˜
L). On réalise l’espace
P W
∞
ell ( ˜
L) en utilisant cette base B( ˜
L). Fixons ˜
π ∈ B( ˜
L). On note P W ˜
π ( ˜
L) le
sous-espace des (ϕ ˜
π ) ˜
π ∈B( ˜
L) ∈ P W
∞
ell ( ˜
L) tels que ϕ ˜
π = 0 si ˜
π
= ˜
π. C’est un
unique espace de fonctions de Paley–Wiener sur A
∗
˜
L,C
.
Proposition. Pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et tout ˜
π ∈ B
inst ( ˜
L), l’espace
pw
−1
◦ sym
W (P W ˜
π ( ˜
L))
est inclus dans I
inst ( ˜
G(R)).
Montrons que cette proposition entraîne le théorème. Elle entraîne
(1) l’espace pw
−1 (P W
∞,inst ( ˜
G)) est inclus dans I
inst ( ˜
G(R)).
En effet, le même raisonnement que dans la preuve du lemme 2.2 montre
que tout élément f ∈ pw
−1 (P W
∞,inst ( ˜
G)) est limite d’une suite d’éléments f i qui
sont combinaisons linéaires finies d’éléments de pw
−1
◦ sym
W (P W ˜
π ( ˜
L), pour des
couples ( ˜
L, ˜
π) vérifiant les hypothèses de la proposition. Puisque I
inst ( ˜
G(R)) est
fermé, cette proposition entraîne qu’un tel f appartient à cet espace.
On a mieux :
(2) pw
−1 (P W
∞,inst ( ˜
G)) est égal à I
inst ( ˜
G(R)).
Preuve. Soit f ∈ I
inst ( ˜
G(R)). On peut décomposer f en f = f
+ f
, où pw(f
) ∈
P W
∞,st ( ˜
G) et pw(f
) ∈ P W
∞,inst ( ˜
G). L’assertion (1) entraîne que f
appartient
à I
inst ( ˜
G(R)), donc f
aussi. Il suffit de prouver que f
= 0. En oubliant cela,
on considère f ∈ I
inst ( ˜
G(R)) tel que pw(f ) ∈ P W
∞,st ( ˜
G(R)) et on veut prouver
que f = 0. Par récurrence, on peut admettre l’assertion (i) du théorème pour tout
espace de Levi propre ˜
L de ˜
G. Soit ˜
L un tel espace de Levi, soit ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
L(R)) et
soit λ ∈ A
∗
˜
L,C
. Comme on l’a expliqué dans le paragraphe précédent, la distribution
f
→ I
˜
L (˜ π λ , f
˜
L
) est stable. Elle annule donc f . Il en résulte que pw(f ) n’a de
composantes non nulles que dans les P W ˜
π ( ˜
G) pour ˜
π ∈ B
st ( ˜
G). Autrement dit,
pw(f ) appartient au sous-espace P W
∞,st
ell ( ˜
G(R)). A fortiori, f est cuspidale. Mais
alors, le lemme 2.2 entraîne que f = 0.
Soit ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
G(R)). Par définition de l’application pw, la distribution f →
I
˜
G (˜ π, f ) annule l’espace pw
−1 (P W
∞,inst ( ˜
G)). D’après (2), elle annule I
inst ( ˜
G(R)),
ce qui signifie qu’elle est stable. Cela prouve l’assertion (i) du théorème. L’assertion
(2) entraîne aussi que l’application pw
st a pour noyau I
inst ( ˜
G(R)), donc que pw
st
est injective. Elle est surjective puisque pw l’est. Enfin, pw
st admet une section
continue, à savoir l’application composée
P W
∞,st ( ˜
G(R)) → P W
∞ ( ˜
G(R))
pw
−1
→ I( ˜
G(R)) → SI( ˜
G(R)).
Donc pw
st est un homéomorphisme. Cela prouve le théorème.
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
l’application de symétrisation sym
W (ϕ) =
w∈W ( ˜
M0) w(ϕ). Soit ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ). On
munit D ell,0 ( ˜
L(R)) d’une base B( ˜
L) ayant les mêmes propriétés que la base B de
2.2. En particulier, B( ˜
L) est réunion de B
st ( ˜
L) et B
inst ( ˜
L). On réalise l’espace
P W
∞
ell ( ˜
L) en utilisant cette base B( ˜
L). Fixons ˜
π ∈ B( ˜
L). On note P W ˜
π ( ˜
L) le
sous-espace des (ϕ ˜
π ) ˜
π ∈B( ˜
L) ∈ P W
∞
ell ( ˜
L) tels que ϕ ˜
π = 0 si ˜
π
= ˜
π. C’est un
unique espace de fonctions de Paley–Wiener sur A
∗
˜
L,C
.
Proposition. Pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et tout ˜
π ∈ B
inst ( ˜
L), l’espace
pw
−1
◦ sym
W (P W ˜
π ( ˜
L))
est inclus dans I
inst ( ˜
G(R)).
Montrons que cette proposition entraîne le théorème. Elle entraîne
(1) l’espace pw
−1 (P W
∞,inst ( ˜
G)) est inclus dans I
inst ( ˜
G(R)).
En effet, le même raisonnement que dans la preuve du lemme 2.2 montre
que tout élément f ∈ pw
−1 (P W
∞,inst ( ˜
G)) est limite d’une suite d’éléments f i qui
sont combinaisons linéaires finies d’éléments de pw
−1
◦ sym
W (P W ˜
π ( ˜
L), pour des
couples ( ˜
L, ˜
π) vérifiant les hypothèses de la proposition. Puisque I
inst ( ˜
G(R)) est
fermé, cette proposition entraîne qu’un tel f appartient à cet espace.
On a mieux :
(2) pw
−1 (P W
∞,inst ( ˜
G)) est égal à I
inst ( ˜
G(R)).
Preuve. Soit f ∈ I
inst ( ˜
G(R)). On peut décomposer f en f = f
+ f
, où pw(f
) ∈
P W
∞,st ( ˜
G) et pw(f
) ∈ P W
∞,inst ( ˜
G). L’assertion (1) entraîne que f
appartient
à I
inst ( ˜
G(R)), donc f
aussi. Il suffit de prouver que f
= 0. En oubliant cela,
on considère f ∈ I
inst ( ˜
G(R)) tel que pw(f ) ∈ P W
∞,st ( ˜
G(R)) et on veut prouver
que f = 0. Par récurrence, on peut admettre l’assertion (i) du théorème pour tout
espace de Levi propre ˜
L de ˜
G. Soit ˜
L un tel espace de Levi, soit ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
L(R)) et
soit λ ∈ A
∗
˜
L,C
. Comme on l’a expliqué dans le paragraphe précédent, la distribution
f
→ I
˜
L (˜ π λ , f
˜
L
) est stable. Elle annule donc f . Il en résulte que pw(f ) n’a de
composantes non nulles que dans les P W ˜
π ( ˜
G) pour ˜
π ∈ B
st ( ˜
G). Autrement dit,
pw(f ) appartient au sous-espace P W
∞,st
ell ( ˜
G(R)). A fortiori, f est cuspidale. Mais
alors, le lemme 2.2 entraîne que f = 0.
Soit ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
G(R)). Par définition de l’application pw, la distribution f →
I
˜
G (˜ π, f ) annule l’espace pw
−1 (P W
∞,inst ( ˜
G)). D’après (2), elle annule I
inst ( ˜
G(R)),
ce qui signifie qu’elle est stable. Cela prouve l’assertion (i) du théorème. L’assertion
(2) entraîne aussi que l’application pw
st a pour noyau I
inst ( ˜
G(R)), donc que pw
st
est injective. Elle est surjective puisque pw l’est. Enfin, pw
st admet une section
continue, à savoir l’application composée
P W
∞,st ( ˜
G(R)) → P W
∞ ( ˜
G(R))
pw
−1
→ I( ˜
G(R)) → SI( ˜
G(R)).
Donc pw
st est un homéomorphisme. Cela prouve le théorème.