IV.2. Stabilité
447
P W
∞,st
ell ( ˜
G) et de P W
∞,inst
ell
( ˜
G) est l’espace P W
∞
ell ( ˜
G) tout entier et que l’intersection de I
st
cusp ( ˜
G(R)) et I
inst
cusp ( ˜
G(R)) est clairement réduite à 0, les inclusions
précédentes sont des égalités. Cela prouve les premières assertions du lemme. La
dernière en résulte immédiatement.
IV.2.3 Un théorème de Paley–Wiener décrivant l’espace SI( ˜
G(R))
Considérons l’espace
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞
ell ( ˜
L).
Par les constructions du paragraphe précédent, on peut le décomposer en somme
directe
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞,st
ell ( ˜
L)
⊕
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞,inst
ell
( ˜
L)
.
Le groupe W ( ˜
M 0 ) agit sur l’espace total. On vérifie que cette action conserve les
deux composantes ci-dessus. On peut donc définir P W
∞,st ( ˜
G) et P W
∞,inst ( ˜
G)
comme les sous-espaces des invariants par W ( ˜
M 0 ) dans chacune des composantes.
Notons pw
st le composé de l’isomorphisme pw : I( ˜
G(R)) → P W
∞ ( ˜
G) et de la
projection sur P W
∞,st ( ˜
G). Supposons prouvé que, pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), tout
˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
L(R)) et tout λ ∈ A
∗
˜
L,C
, la distribution f → I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L ) soit stable. Alors
pw
st se quotiente en un homomorphisme continu pw
st : SI( ˜
G(R)) → P W
∞,st ( ˜
G).
Remarquons que l’hypothèse que l’on vient de faire résulte de l’hypothèse plus
simple que, pour tout ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
G(R)), la distribution f → I
˜
G (˜ π, f ) est stable.
En effet, la tensorisation par un élément λ ∈ A
∗
˜
G,C
respecte la stabilité. Comme
toujours, on suppose par récurrence que les propriétés vraies pour ˜
G le sont aussi
pour les groupes tordus plus petits, donc pour les espaces de Levi. Donc, pour tout
˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), tout ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
L(R)) et tout λ ∈ A
∗
˜
L,C
, la distribution f → I
˜
L (˜ π λ , f)
sur I( ˜
L(R)) est stable. Mais l’induction conserve la stabilité. Donc la distribution
f → I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L ) est stable.
Théorème.
(i) Pour tout ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
G(R)), la distribution f → I
˜
G (˜ π, f ) est stable.
(ii) L’application linéaire pw
st : SI( ˜
G(R)) → P W
∞,st ( ˜
G) est un homéomorphisme.
Dans le paragraphe suivant, on ramènera le théorème à une autre assertion
qui sera prouvée en 2.7.
IV.2.4 Un résultat d’instabilité
Notons
sym
W : ⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞
ell ( ˜
L) → P W
∞ ( ˜
G)
447
P W
∞,st
ell ( ˜
G) et de P W
∞,inst
ell
( ˜
G) est l’espace P W
∞
ell ( ˜
G) tout entier et que l’intersection de I
st
cusp ( ˜
G(R)) et I
inst
cusp ( ˜
G(R)) est clairement réduite à 0, les inclusions
précédentes sont des égalités. Cela prouve les premières assertions du lemme. La
dernière en résulte immédiatement.
IV.2.3 Un théorème de Paley–Wiener décrivant l’espace SI( ˜
G(R))
Considérons l’espace
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞
ell ( ˜
L).
Par les constructions du paragraphe précédent, on peut le décomposer en somme
directe
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞,st
ell ( ˜
L)
⊕
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞,inst
ell
( ˜
L)
.
Le groupe W ( ˜
M 0 ) agit sur l’espace total. On vérifie que cette action conserve les
deux composantes ci-dessus. On peut donc définir P W
∞,st ( ˜
G) et P W
∞,inst ( ˜
G)
comme les sous-espaces des invariants par W ( ˜
M 0 ) dans chacune des composantes.
Notons pw
st le composé de l’isomorphisme pw : I( ˜
G(R)) → P W
∞ ( ˜
G) et de la
projection sur P W
∞,st ( ˜
G). Supposons prouvé que, pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), tout
˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
L(R)) et tout λ ∈ A
∗
˜
L,C
, la distribution f → I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L ) soit stable. Alors
pw
st se quotiente en un homomorphisme continu pw
st : SI( ˜
G(R)) → P W
∞,st ( ˜
G).
Remarquons que l’hypothèse que l’on vient de faire résulte de l’hypothèse plus
simple que, pour tout ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
G(R)), la distribution f → I
˜
G (˜ π, f ) est stable.
En effet, la tensorisation par un élément λ ∈ A
∗
˜
G,C
respecte la stabilité. Comme
toujours, on suppose par récurrence que les propriétés vraies pour ˜
G le sont aussi
pour les groupes tordus plus petits, donc pour les espaces de Levi. Donc, pour tout
˜
L ∈ L( ˜
M 0 ), tout ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
L(R)) et tout λ ∈ A
∗
˜
L,C
, la distribution f → I
˜
L (˜ π λ , f)
sur I( ˜
L(R)) est stable. Mais l’induction conserve la stabilité. Donc la distribution
f → I
˜
L (˜ π λ , f ˜
L ) est stable.
Théorème.
(i) Pour tout ˜
π ∈ D
st
ell,0 ( ˜
G(R)), la distribution f → I
˜
G (˜ π, f ) est stable.
(ii) L’application linéaire pw
st : SI( ˜
G(R)) → P W
∞,st ( ˜
G) est un homéomorphisme.
Dans le paragraphe suivant, on ramènera le théorème à une autre assertion
qui sera prouvée en 2.7.
IV.2.4 Un résultat d’instabilité
Notons
sym
W : ⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞
ell ( ˜
L) → P W
∞ ( ˜
G)