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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Lemme. Via l’isomorphisme de I cusp ( ˜
G(R)) sur P W
∞
ell ( ˜
G), les espaces I
st
cusp ( ˜
G(R))
et I
inst
cusp ( ˜
G(R)) s’identifient respectivement à P W
∞,st
ell ( ˜
G) et P W
∞,inst
ell
( ˜
G). La projection de I cusp ( ˜
G(R)) sur P W
∞,st
ell ( ˜
G) se quotiente en un homéomorphisme de
SI cusp ( ˜
G(R)) sur P W
∞,st
ell ( ˜
G).
Preuve. Notons pw : I cusp ( ˜
G(R)) → P W
∞
ell ( ˜
G) notre isomorphisme. Soit ˜
π ∈ B,
considérons un élément f ∈ I cusp ( ˜
G(R)) tel que pw(f ) = (ϕ ˜
π ) ˜
π ∈B vérifie ϕ ˜
π = 0
pour ˜
π
= ˜
π. On va prouver que
(2) si ˜
π ∈ B
st , resp. ˜
π ∈ B
inst , alors f ∈ I
st
cusp ( ˜
G(R)), resp. f ∈ I
inst
cusp ( ˜
G(R)).
Soit φ la fonction sur A ˜
G (que l’on identifie à A ˜
G via l’exponentielle) dont la
transformée de Fourier est la restriction de ϕ ˜
π à iA
∗
˜
G
. Elle est C
∞ et à support compact. On définit une fonction f
sur ˜
G(R) par f
(γ) = (˜ π, ˜
π)
−1
ell φ(H ˜
G (γ))f [˜ π](γ).
C’est un élément de C
∞
c ( ˜
G(R)). Pour tout γ ∈ ˜
G(R) fortement régulier, on a
l’égalité
I
˜
G (γ, f
) = (˜ π, ˜
π)
−1
ell φ(H ˜
G (γ))I
˜
G (γ, f [˜ π]).
Il en résulte que ces intégrales orbitales sont nulles si γ n’est pas elliptique et
qu’elles ont les mêmes propriétés de stabilité que celles de f [˜ π]. Donc l’image de
f
dans I( ˜
G(R)) appartient à I
st
cusp ( ˜
G(R)) si ˜
π ∈ B
st , à I
inst
cusp ( ˜
G(R)) si ˜
π ∈ B
inst .
Pour ˜
π
∈ B et λ ∈ A
∗
˜
G,C
, on a
˜
π
λ (f
) =
˜
G(R)
˜
π
λ (γ)f
(γ) dγ
= (˜ π, ˜
π)
−1
ell
˜
G(R) 1
A ˜
G
˜
π
(γ
1 )e
H,λ f [˜ π](γ
1 )φ(H) dH dγ
1
= (˜ π, ˜
π)
−1
ell ϕ ˜
π (λ)˜ π
(f [˜ π]).
Il en résulte que
I
˜
G (˜ π
λ , f
) =
0,
si ˜
π
= ˜
π,
ϕ ˜
π (λ), si ˜
π
= ˜
π.
Autrement dit, l’image de f
dans P W
∞
ell ( ˜
G) coïncide avec celle de f . Donc f est
l’image de f
dans I cusp ( ˜
G(R)). L’assertion (2) en résulte.
Soit maintenant f ∈ I cusp ( ˜
G(R)) telle que pw(f ) ∈ P W
∞,st
ell ( ˜
G). Ecrivons
B
st comme réunion croissante de sous-ensembles finis B i , pour i ∈ N. Ecrivons
pw(f ) = (ϕ ˜
π ) ˜
π∈B . Pour tout i, soit f i ∈ I cusp ( ˜
G(R)) l’élément tel que, en posant pw(f i ) = (ϕ i,˜ π ) ˜
π∈B , on ait ϕ i,˜ π = ϕ ˜
π si ˜
π ∈ B i , ϕ i,˜ π = 0 sinon. D’après
(2), f i appartient à I
st
cusp ( ˜
G(R)). Parce que pw est un homéomorphisme, f est la
limite des f i . Il est clair par définition que I
st
cusp ( ˜
G(R) est un sous-espace fermé.
Il en résulte que f ∈ I
st
cusp ( ˜
G(R)). Donc pw
−1 (P W
∞,st
ell ( ˜
G)) ⊂ I
st
cusp ( ˜
G(R)). On
prouve de même que pw
−1 (P W
∞,inst
ell
( ˜
G)) ⊂ I
inst
cusp ( ˜
G(R)). Puisque la somme de
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Lemme. Via l’isomorphisme de I cusp ( ˜
G(R)) sur P W
∞
ell ( ˜
G), les espaces I
st
cusp ( ˜
G(R))
et I
inst
cusp ( ˜
G(R)) s’identifient respectivement à P W
∞,st
ell ( ˜
G) et P W
∞,inst
ell
( ˜
G). La projection de I cusp ( ˜
G(R)) sur P W
∞,st
ell ( ˜
G) se quotiente en un homéomorphisme de
SI cusp ( ˜
G(R)) sur P W
∞,st
ell ( ˜
G).
Preuve. Notons pw : I cusp ( ˜
G(R)) → P W
∞
ell ( ˜
G) notre isomorphisme. Soit ˜
π ∈ B,
considérons un élément f ∈ I cusp ( ˜
G(R)) tel que pw(f ) = (ϕ ˜
π ) ˜
π ∈B vérifie ϕ ˜
π = 0
pour ˜
π
= ˜
π. On va prouver que
(2) si ˜
π ∈ B
st , resp. ˜
π ∈ B
inst , alors f ∈ I
st
cusp ( ˜
G(R)), resp. f ∈ I
inst
cusp ( ˜
G(R)).
Soit φ la fonction sur A ˜
G (que l’on identifie à A ˜
G via l’exponentielle) dont la
transformée de Fourier est la restriction de ϕ ˜
π à iA
∗
˜
G
. Elle est C
∞ et à support compact. On définit une fonction f
sur ˜
G(R) par f
(γ) = (˜ π, ˜
π)
−1
ell φ(H ˜
G (γ))f [˜ π](γ).
C’est un élément de C
∞
c ( ˜
G(R)). Pour tout γ ∈ ˜
G(R) fortement régulier, on a
l’égalité
I
˜
G (γ, f
) = (˜ π, ˜
π)
−1
ell φ(H ˜
G (γ))I
˜
G (γ, f [˜ π]).
Il en résulte que ces intégrales orbitales sont nulles si γ n’est pas elliptique et
qu’elles ont les mêmes propriétés de stabilité que celles de f [˜ π]. Donc l’image de
f
dans I( ˜
G(R)) appartient à I
st
cusp ( ˜
G(R)) si ˜
π ∈ B
st , à I
inst
cusp ( ˜
G(R)) si ˜
π ∈ B
inst .
Pour ˜
π
∈ B et λ ∈ A
∗
˜
G,C
, on a
˜
π
λ (f
) =
˜
G(R)
˜
π
λ (γ)f
(γ) dγ
= (˜ π, ˜
π)
−1
ell
˜
G(R) 1
A ˜
G
˜
π
(γ
1 )e
H,λ f [˜ π](γ
1 )φ(H) dH dγ
1
= (˜ π, ˜
π)
−1
ell ϕ ˜
π (λ)˜ π
(f [˜ π]).
Il en résulte que
I
˜
G (˜ π
λ , f
) =
0,
si ˜
π
= ˜
π,
ϕ ˜
π (λ), si ˜
π
= ˜
π.
Autrement dit, l’image de f
dans P W
∞
ell ( ˜
G) coïncide avec celle de f . Donc f est
l’image de f
dans I cusp ( ˜
G(R)). L’assertion (2) en résulte.
Soit maintenant f ∈ I cusp ( ˜
G(R)) telle que pw(f ) ∈ P W
∞,st
ell ( ˜
G). Ecrivons
B
st comme réunion croissante de sous-ensembles finis B i , pour i ∈ N. Ecrivons
pw(f ) = (ϕ ˜
π ) ˜
π∈B . Pour tout i, soit f i ∈ I cusp ( ˜
G(R)) l’élément tel que, en posant pw(f i ) = (ϕ i,˜ π ) ˜
π∈B , on ait ϕ i,˜ π = ϕ ˜
π si ˜
π ∈ B i , ϕ i,˜ π = 0 sinon. D’après
(2), f i appartient à I
st
cusp ( ˜
G(R)). Parce que pw est un homéomorphisme, f est la
limite des f i . Il est clair par définition que I
st
cusp ( ˜
G(R) est un sous-espace fermé.
Il en résulte que f ∈ I
st
cusp ( ˜
G(R)). Donc pw
−1 (P W
∞,st
ell ( ˜
G)) ⊂ I
st
cusp ( ˜
G(R)). On
prouve de même que pw
−1 (P W
∞,inst
ell
( ˜
G)) ⊂ I
inst
cusp ( ˜
G(R)). Puisque la somme de