IV.2. Stabilité
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restreint en un automorphisme antilinéaire de Z(G). En considérant Z(G) comme
l’algèbre des polynômes sur h
∗ invariants par W , on a (ι(z))(λ) = z(− ¯
λ) pour tout
z ∈ Z(G) et tout λ ∈ h
∗ . L’isométrie ci-dessus vérifie la relation f [z ˜
π] = ι(z)(f [˜ π]).
Pour toute W -orbite μ dans h
∗ , elle identifie D ell,0,μ ( ˜
G, ω) avec le sous-espace
I cusp,−¯ μ ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω) des éléments f ∈ I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω) tels que zf = z(−¯ μ)f
pour tout z ∈ Z(G).
On suppose pour la suite de la section que (G, ˜
G, ω) est quasi-déployé et à
torsion intérieure.
On note I
inst
cusp ( ˜
G(R)) le noyau de l’application naturelle
I cusp ( ˜
G(R)) → SI cusp ( ˜
G(R)).
On a introduit en [I] 4.14 le sous-espace I
st
cusp ( ˜
G(R)) des éléments dont les intégrales
orbitales sont constantes sur toute classe de conjugaison stable formée d’éléments
elliptiques fortement réguliers. On a montré que, par l’application naturelle cidessus, il s’envoyait bijectivement sur SI cusp ( ˜
G(R)). Il en résulte que l’on a la
décomposition
I cusp ( ˜
G(R)) = I
st
cusp ( ˜
G(R)) ⊕ I
inst
cusp ( ˜
G(R)).
Il est clair que chacun des sous-espaces est invariant par l’action de Z(G). Des
définitions et propriétés analogues valent pour les fonctions invariantes par A ˜
G :
on a
I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G ) = I
st
cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G ) ⊕ I
inst
cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G ).
Il résulte de la définition du produit hermitien ci-dessus que la décomposition est
orthogonale. La projection sur chacun des sous-espaces d’un élément Z(G)-fini l’est
aussi. On a donc une décomposition similaire
I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , K) = I
st
cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , K) ⊕ I
inst
cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , K)
où les sous-espaces sont les intersections des précédents avec I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , K).
Via l’isomorphisme ˜
π → f [˜ π], on obtient une décomposition
D ell,0 ( ˜
G) = D
st
ell,0 ( ˜
G) ⊕ D
inst
ell,0 ( ˜
G).
Pour chaque W -orbite μ dans h
∗ , elle se raffine en une décomposition
D ell,0,μ ( ˜
G) = D
st
ell,0,μ ( ˜
G) ⊕ D
inst
ell,0,μ ( ˜
G).
Pour chaque μ, fixons des bases orthonormées B
st
μ et B
inst
μ
de chacun des sousespaces ci-dessus. Notons B
st la réunion des B
st
μ et B
inst celle des B
inst
μ . Notons
enfin B = B
st
∪B
inst . Réalisons comme plus haut notre espace P W
∞
ell ( ˜
G) à l’aide de
cette base B. Notons P W
∞,st
ell ( ˜
G), resp. P W
∞,inst
ell
( ˜
G) le sous-espace des (ϕ ˜
π ) ˜
π∈B
tels que ϕ ˜
π = 0 si ˜
π ∈ B
inst , resp. ˜
π ∈ B
st . Rappelons enfin que les espaces
I cusp ( ˜
G(R)) et SI cusp ( ˜
G(R)) sont munis de topologies ([I] 5.3, qui reprenait Bouaziz et Renard).
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restreint en un automorphisme antilinéaire de Z(G). En considérant Z(G) comme
l’algèbre des polynômes sur h
∗ invariants par W , on a (ι(z))(λ) = z(− ¯
λ) pour tout
z ∈ Z(G) et tout λ ∈ h
∗ . L’isométrie ci-dessus vérifie la relation f [z ˜
π] = ι(z)(f [˜ π]).
Pour toute W -orbite μ dans h
∗ , elle identifie D ell,0,μ ( ˜
G, ω) avec le sous-espace
I cusp,−¯ μ ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω) des éléments f ∈ I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω) tels que zf = z(−¯ μ)f
pour tout z ∈ Z(G).
On suppose pour la suite de la section que (G, ˜
G, ω) est quasi-déployé et à
torsion intérieure.
On note I
inst
cusp ( ˜
G(R)) le noyau de l’application naturelle
I cusp ( ˜
G(R)) → SI cusp ( ˜
G(R)).
On a introduit en [I] 4.14 le sous-espace I
st
cusp ( ˜
G(R)) des éléments dont les intégrales
orbitales sont constantes sur toute classe de conjugaison stable formée d’éléments
elliptiques fortement réguliers. On a montré que, par l’application naturelle cidessus, il s’envoyait bijectivement sur SI cusp ( ˜
G(R)). Il en résulte que l’on a la
décomposition
I cusp ( ˜
G(R)) = I
st
cusp ( ˜
G(R)) ⊕ I
inst
cusp ( ˜
G(R)).
Il est clair que chacun des sous-espaces est invariant par l’action de Z(G). Des
définitions et propriétés analogues valent pour les fonctions invariantes par A ˜
G :
on a
I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G ) = I
st
cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G ) ⊕ I
inst
cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G ).
Il résulte de la définition du produit hermitien ci-dessus que la décomposition est
orthogonale. La projection sur chacun des sous-espaces d’un élément Z(G)-fini l’est
aussi. On a donc une décomposition similaire
I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , K) = I
st
cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , K) ⊕ I
inst
cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , K)
où les sous-espaces sont les intersections des précédents avec I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , K).
Via l’isomorphisme ˜
π → f [˜ π], on obtient une décomposition
D ell,0 ( ˜
G) = D
st
ell,0 ( ˜
G) ⊕ D
inst
ell,0 ( ˜
G).
Pour chaque W -orbite μ dans h
∗ , elle se raffine en une décomposition
D ell,0,μ ( ˜
G) = D
st
ell,0,μ ( ˜
G) ⊕ D
inst
ell,0,μ ( ˜
G).
Pour chaque μ, fixons des bases orthonormées B
st
μ et B
inst
μ
de chacun des sousespaces ci-dessus. Notons B
st la réunion des B
st
μ et B
inst celle des B
inst
μ . Notons
enfin B = B
st
∪B
inst . Réalisons comme plus haut notre espace P W
∞
ell ( ˜
G) à l’aide de
cette base B. Notons P W
∞,st
ell ( ˜
G), resp. P W
∞,inst
ell
( ˜
G) le sous-espace des (ϕ ˜
π ) ˜
π∈B
tels que ϕ ˜
π = 0 si ˜
π ∈ B
inst , resp. ˜
π ∈ B
st . Rappelons enfin que les espaces
I cusp ( ˜
G(R)) et SI cusp ( ˜
G(R)) sont munis de topologies ([I] 5.3, qui reprenait Bouaziz et Renard).