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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères des ˜
π τ comme ci-dessus telles que
μ(τ ) = μ. Ce sont des espaces de dimension finie uniformément bornée. Considérons une base B de D ell,0 ( ˜
G(R), ω) qui est réunion de bases B μ des sous-espaces
D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω), qui est orthogonale pour le produit hermitien et qui vérifie la
condition
(1) quand ˜
π décrit B, les produits (˜ π, ˜
π) ell ne prennent qu’un nombre fini de
valeurs.
On construit un espace de Paley–Wiener comme en 1.3, associé à l’ensemble
B muni de la fonction d qui vaut |μ| sur chaque B μ , les espaces V étant tous égaux à
A ˜
G . La même preuve qu’en 1.5 montre que cet espace s’identifie à P W
∞
ell ( ˜
G, ω). On
peut donc considérer un élément de cet espace comme une collection de fonctions
(ϕ ˜
π ) ˜
π∈B .
Tout ceci s’adapte si l’on remplace les espaces de fonctions sur ˜
G(R) par des
espaces de fonctions invariantes par A ˜
G . Par exemple, l’espace I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω)
s’identifie à l’espace P W
∞
ell,0 ( ˜
G, ω) des familles (f ˜
π ) ˜
π∈B ∈ C
B tels que, pour tout
entier N , il existe C N > 0 de sorte que
|f ˜
π | ≤ C N (1 + |μ(˜ π)|)
−N
pour tout ˜
π ∈ B. Le sous-espace I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω, K) s’identifie au sous-espace
P W ell,0 ( ˜
G, ω) des familles presque toutes nulles. Notons que Z(G) agit naturellement sur ces espaces. En particulier, pour (f ˜
π ) ˜
π∈B comme ci-dessus et pour
z ∈ Z(G), on a
z(f ˜
π ) ˜
π∈B = (z(μ(˜ π))f ˜
π ) ˜
π∈B .
On voit que le sous-espace P W ell,0 ( ˜
G, ω) coïncide avec celui des éléments Z(G)-finis
de P W
∞
ell,0 ( ˜
G, ω).
La formule des traces locale munit I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω) d’un produit hermitien
défini positif. Pour f, f
∈ I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω), on a simplement
(f, f
) =
˜
T
˜
T (R)/A ˜
G (1−θ)(T (R))
I
˜
G (γ, ω, f )I
˜
G (γ, ω, f
) dγ,
où l’on somme sur les classes de conjugaison par G(R) de tores tordus maximaux elliptiques et où les mesures sont convenablement normalisées. La théorie
des pseudo-coefficients nous dit qu’il existe un isomorphisme antilinéaire
D ell,0 ( ˜
G, ω) → I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω, K)
˜
π
→
f [˜ π]
tel que, pour tout f ∈ I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω) et tout ˜
π ∈ D ell,0 ( ˜
G, ω), on ait l’égalité
I
˜
G (˜ π,ω,f )= ( ¯
f [˜ π],f ). C’est une isométrie en ce sens que (˜ π 1 , ˜
π 2 ) ell = (f [˜ π 2 ],f [˜ π 1 ]).
Notons ι l’antiautomorphisme antilinéaire de l’algèbre enveloppante de G(R)
qui prolonge antilinéairement l’application X → −X de l’algèbre de Lie. Il se
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères des ˜
π τ comme ci-dessus telles que
μ(τ ) = μ. Ce sont des espaces de dimension finie uniformément bornée. Considérons une base B de D ell,0 ( ˜
G(R), ω) qui est réunion de bases B μ des sous-espaces
D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω), qui est orthogonale pour le produit hermitien et qui vérifie la
condition
(1) quand ˜
π décrit B, les produits (˜ π, ˜
π) ell ne prennent qu’un nombre fini de
valeurs.
On construit un espace de Paley–Wiener comme en 1.3, associé à l’ensemble
B muni de la fonction d qui vaut |μ| sur chaque B μ , les espaces V étant tous égaux à
A ˜
G . La même preuve qu’en 1.5 montre que cet espace s’identifie à P W
∞
ell ( ˜
G, ω). On
peut donc considérer un élément de cet espace comme une collection de fonctions
(ϕ ˜
π ) ˜
π∈B .
Tout ceci s’adapte si l’on remplace les espaces de fonctions sur ˜
G(R) par des
espaces de fonctions invariantes par A ˜
G . Par exemple, l’espace I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω)
s’identifie à l’espace P W
∞
ell,0 ( ˜
G, ω) des familles (f ˜
π ) ˜
π∈B ∈ C
B tels que, pour tout
entier N , il existe C N > 0 de sorte que
|f ˜
π | ≤ C N (1 + |μ(˜ π)|)
−N
pour tout ˜
π ∈ B. Le sous-espace I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω, K) s’identifie au sous-espace
P W ell,0 ( ˜
G, ω) des familles presque toutes nulles. Notons que Z(G) agit naturellement sur ces espaces. En particulier, pour (f ˜
π ) ˜
π∈B comme ci-dessus et pour
z ∈ Z(G), on a
z(f ˜
π ) ˜
π∈B = (z(μ(˜ π))f ˜
π ) ˜
π∈B .
On voit que le sous-espace P W ell,0 ( ˜
G, ω) coïncide avec celui des éléments Z(G)-finis
de P W
∞
ell,0 ( ˜
G, ω).
La formule des traces locale munit I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω) d’un produit hermitien
défini positif. Pour f, f
∈ I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω), on a simplement
(f, f
) =
˜
T
˜
T (R)/A ˜
G (1−θ)(T (R))
I
˜
G (γ, ω, f )I
˜
G (γ, ω, f
) dγ,
où l’on somme sur les classes de conjugaison par G(R) de tores tordus maximaux elliptiques et où les mesures sont convenablement normalisées. La théorie
des pseudo-coefficients nous dit qu’il existe un isomorphisme antilinéaire
D ell,0 ( ˜
G, ω) → I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω, K)
˜
π
→
f [˜ π]
tel que, pour tout f ∈ I cusp ( ˜
G(R)/A ˜
G , ω) et tout ˜
π ∈ D ell,0 ( ˜
G, ω), on ait l’égalité
I
˜
G (˜ π,ω,f )= ( ¯
f [˜ π],f ). C’est une isométrie en ce sens que (˜ π 1 , ˜
π 2 ) ell = (f [˜ π 2 ],f [˜ π 1 ]).
Notons ι l’antiautomorphisme antilinéaire de l’algèbre enveloppante de G(R)
qui prolonge antilinéairement l’application X → −X de l’algèbre de Lie. Il se