IV.2. Stabilité
443
Un élément z de Z(G) définit par restriction un polynôme invariant par W
θ sur
˜
μ(ω) + h
θ,∗ , qui s’identifie à un polynôme z
G
invariant par W
G
⊂ W
θ sur h
G
,∗ .
Le corollaire [I] 2.8 se reformule de la façon suivante.
Lemme. Soient f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), f
∈ C
∞
c (G
) ⊗ Mes(G
(R)) et z ∈
Z(G). Supposons que f
soit un transfert de f . Alors z
G
f
est un transfert de zf .
Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . On a introduit ci-dessus un élément b de l’espace (1). Son opposé −b se projette sur un élément de (a
∗
G
1
×
a
∗
˜
G
)/ diag − (a
∗
˜
G
) a
∗
G
1
. Cet élément définit un caractère λ A,1 de A G
1
, qui a même
restriction à A C1 que λ 1 . Pour simplifier, fixons des mesures de Haar sur G(R)
et G
1 (R). Soit a ∈ A ˜
G et a 1 ∈ A G
1
ayant même projection dans A G . Soient
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)). Notons f
a1
1 , resp. f
a , les fonctions définies par f
a1
1 (δ 1 ) = f 1 (a 1 δ 1 ), resp. f
a (γ) = f (aγ). La relation suivante est une
conséquence des calculs de [I] 2.8 :
(2) si f 1 est un transfert de f , alors λ A,1 (a 1 )f
a1
1 est un transfert de f
a .
Notons E ell,λ A,1 ,λ1 ( ˜
G
1 ) le sous-ensemble des τ ∈ E ell,λ1 ( ˜
G
1 ) tels que la restriction à A G
1
du caractère central de τ soit égale à λ A,1 . On note de même
D ell,λ A,1 ,λ1 ( ˜
G
1 ) le sous-espace de D ell,λ1 ( ˜
G
1 ) engendré par les caractères des ˜
π τ
pour τ ∈ E ell,λ A,1 ,λ1 ( ˜
G
1 ). Quand on fait varier les données auxiliaires, on vérifie
que ces objets se recollent en des objets que l’on note E ell,0 (G
) et D ell,0 (G
). Il
est utile de remarquer que l’on peut choisir des données auxiliaires de sorte que
λ A,1 soit trivial. En effet, via la projection naturelle G
1 (R) → A G
1
, ce caractère
s’étend en un caractère de G
1 (R). Celui-ci détermine un cocycle ζ : W R → Z( ˆ
G
1 ).
On définit un nouveau plongement ˆ
ξ
1 : G
→
L G
1 par ˆ
ξ
1 (g, w) = ζ(w)
−1 ˆ
ξ 1 (g, w)
pour tout (g, w) ∈ G
. On voit que, si l’on remplace ˆ
ξ 1 par ce nouveau plongement,
λ A,1 devient trivial.
IV.2.2 Les espaces I cusp ( ˜
G(R)) et SI cusp ( ˜
G(R))
Pour simplifier les notations, on fixe dorénavant des mesures de Haar sur tous les
groupes rencontrés. Le théorème 1.4 entraîne que I cusp ( ˜
G(R), ω) est isomorphe à
l’espace P W
∞
ell ( ˜
G, ω). Rappelons que l’on note C
∞
c ( ˜
G(R), K) l’espace des éléments
de C
∞
c ( ˜
G(R)) qui sont K-finis à droite et à gauche. Notons C
∞
cusp ( ˜
G(R), K) le sousespace des fonctions cuspidales et I cusp ( ˜
G(R), ω, K) son image dans I cusp ( ˜
G(R), ω).
Le théorème de Delorme et Mezo (repris en [81] 6.2) entraîne que I cusp ( ˜
G(R), ω, K)
s’identifie au sous-espace P W ell ( ˜
G, ω) des familles (ϕ τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G,ω) telles que ϕ τ =
0 pour presque tout τ ∈ E ell,0 ( ˜
G, ω).
On peut modifier les définitions des espaces de Paley–Wiener de la façon
suivante. On a défini l’espace D ell,0 ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères des représentations ˜
π τ pour τ ∈ E ell,0 ( ˜
G, ω). Il est muni du produit elliptique, qui est
hermitien et défini positif. Pour une W -orbite μ dans h
∗ , on a défini le sous-espace
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Un élément z de Z(G) définit par restriction un polynôme invariant par W
θ sur
˜
μ(ω) + h
θ,∗ , qui s’identifie à un polynôme z
G
invariant par W
G
⊂ W
θ sur h
G
,∗ .
Le corollaire [I] 2.8 se reformule de la façon suivante.
Lemme. Soient f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), f
∈ C
∞
c (G
) ⊗ Mes(G
(R)) et z ∈
Z(G). Supposons que f
soit un transfert de f . Alors z
G
f
est un transfert de zf .
Fixons des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . On a introduit ci-dessus un élément b de l’espace (1). Son opposé −b se projette sur un élément de (a
∗
G
1
×
a
∗
˜
G
)/ diag − (a
∗
˜
G
) a
∗
G
1
. Cet élément définit un caractère λ A,1 de A G
1
, qui a même
restriction à A C1 que λ 1 . Pour simplifier, fixons des mesures de Haar sur G(R)
et G
1 (R). Soit a ∈ A ˜
G et a 1 ∈ A G
1
ayant même projection dans A G . Soient
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et f 1 ∈ C
∞
c,λ1 ( ˜
G
1 (R)). Notons f
a1
1 , resp. f
a , les fonctions définies par f
a1
1 (δ 1 ) = f 1 (a 1 δ 1 ), resp. f
a (γ) = f (aγ). La relation suivante est une
conséquence des calculs de [I] 2.8 :
(2) si f 1 est un transfert de f , alors λ A,1 (a 1 )f
a1
1 est un transfert de f
a .
Notons E ell,λ A,1 ,λ1 ( ˜
G
1 ) le sous-ensemble des τ ∈ E ell,λ1 ( ˜
G
1 ) tels que la restriction à A G
1
du caractère central de τ soit égale à λ A,1 . On note de même
D ell,λ A,1 ,λ1 ( ˜
G
1 ) le sous-espace de D ell,λ1 ( ˜
G
1 ) engendré par les caractères des ˜
π τ
pour τ ∈ E ell,λ A,1 ,λ1 ( ˜
G
1 ). Quand on fait varier les données auxiliaires, on vérifie
que ces objets se recollent en des objets que l’on note E ell,0 (G
) et D ell,0 (G
). Il
est utile de remarquer que l’on peut choisir des données auxiliaires de sorte que
λ A,1 soit trivial. En effet, via la projection naturelle G
1 (R) → A G
1
, ce caractère
s’étend en un caractère de G
1 (R). Celui-ci détermine un cocycle ζ : W R → Z( ˆ
G
1 ).
On définit un nouveau plongement ˆ
ξ
1 : G
→
L G
1 par ˆ
ξ
1 (g, w) = ζ(w)
−1 ˆ
ξ 1 (g, w)
pour tout (g, w) ∈ G
. On voit que, si l’on remplace ˆ
ξ 1 par ce nouveau plongement,
λ A,1 devient trivial.
IV.2.2 Les espaces I cusp ( ˜
G(R)) et SI cusp ( ˜
G(R))
Pour simplifier les notations, on fixe dorénavant des mesures de Haar sur tous les
groupes rencontrés. Le théorème 1.4 entraîne que I cusp ( ˜
G(R), ω) est isomorphe à
l’espace P W
∞
ell ( ˜
G, ω). Rappelons que l’on note C
∞
c ( ˜
G(R), K) l’espace des éléments
de C
∞
c ( ˜
G(R)) qui sont K-finis à droite et à gauche. Notons C
∞
cusp ( ˜
G(R), K) le sousespace des fonctions cuspidales et I cusp ( ˜
G(R), ω, K) son image dans I cusp ( ˜
G(R), ω).
Le théorème de Delorme et Mezo (repris en [81] 6.2) entraîne que I cusp ( ˜
G(R), ω, K)
s’identifie au sous-espace P W ell ( ˜
G, ω) des familles (ϕ τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G,ω) telles que ϕ τ =
0 pour presque tout τ ∈ E ell,0 ( ˜
G, ω).
On peut modifier les définitions des espaces de Paley–Wiener de la façon
suivante. On a défini l’espace D ell,0 ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères des représentations ˜
π τ pour τ ∈ E ell,0 ( ˜
G, ω). Il est muni du produit elliptique, qui est
hermitien et défini positif. Pour une W -orbite μ dans h
∗ , on a défini le sous-espace