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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
E ell,λ2 ( ˜
G
2 ), les indices λ 1 et λ 2 signifiant que l’on se restreint aux éléments dont
le caractère central se restreint à C 1 (R), resp. C 2 (R), en le caractère λ 1 , resp. λ 2 .
On en déduit comme ci-dessus par recollement un ensemble E ell (G
) et un espace
D ell (G
).
Remarque. Le corps de base est ici R, mais les constructions ci-dessus valent aussi
sur un corps de base local non-archimédien.
Considérons de nouveau des données auxiliaires G
1 , . . ., Δ 1 . Introduisons les
espaces h
, h
1 et h C1 analogues de h pour les groupes G
, G
1 et C 1 . On a une suite
exacte
0 → h
∗
→ h
∗
1 → h
∗
C1 → 0
Au caractère λ 1 est associé un paramètre μ(λ 1 ) ∈ h
∗
C1 . Soit (π 1 , ˜
π 1 ) une représentation irréductible de ˜
G
1 (R) dont le caractère central coïncide avec λ 1 sur C 1 (R).
Alors son paramètre μ(˜ π 1 ) est une W
G
-orbite incluse dans l’ensemble h
∗
1,λ1 des
éléments de h
∗
1 qui se projettent sur μ(λ 1 ). Cet ensemble est un espace affine sous
h
∗ . Quand on change de données auxiliaires, ces espaces affines se recollent. En
effet, avec les notations ci-dessus, λ 12 est un caractère du produit fibré de G
1 et
G
2 au-dessus de G
. Il lui est associé un paramètre
μ(λ 12 ) ∈ h
∗
12 = (h
∗
1 × h
∗
2 )/ diag − (h
∗ )
(on note diag − le plongement antidiagonal). La projection de μ(λ 12 ) dans h C1 ×h C2
est (μ(λ 1 ), −μ(λ 2 )). Soit alors μ 1 ∈ h
∗
1,λ1 . Il existe un unique élément μ 2 ∈ h
∗
2,λ2
tel que (μ 1 , −μ 2 ) se projette sur μ(λ 12 ) dans h
∗
12 . Le recollement associe μ 2 à μ 1 .
Par recollement, on obtient un espace affine sous h
∗ que nous noterons h
G
,∗ .
On ne peut pas recoller les algèbres Z(G
1 ), mais on peut recoller leurs quotients
Z(G
1 )/I(λ 1 ), où I(λ 1 ) est l’idéal bilatère engendré par les X −−X, μ(λ 1 ) pour X ∈
h C1 . On obtient une algèbre notée Z(G
), qui s’identifie à l’algèbre des polynômes
sur h
G
,∗ invariants par W
G
. Cette algèbre agit naturellement sur C
∞
c (G
).
On a défini en 1.2 l’espace affine ˜
μ(ω) + h
θ,∗ . Il s’identifie à h
G
,∗ par la
construction suivante. Notons que h
s’identifie naturellement à h
θ (l’identification
dépend de choix de paires de Borel mais changer ces choix ne modifie l’identification que par l’action d’un élément de W
θ , ce qui nous importe peu). Fixons des
données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . On a défini en [I] 2.8 un élément b que l’on peut
considérer comme un élément de
(1)
(h
∗
1 × h
∗ )/ diag − (h
∗ ).
On vérifie que sa projection dans h
∗
C1 × (1 − θ)(h
∗ ) n’est autre que (−μ(λ 1 ), ˜
μ(ω)).
Pour μ ∈ ˜
μ(ω)+ h
θ,∗ , il existe un unique μ 1 ∈ h
∗
1,λ1 tel que (−μ 1 , μ) se projette sur
b dans l’espace (1). L’application μ → μ 1 fournit l’isomorphisme cherché. Modulo
cet isomorphisme, on a un homomorphisme
Z(G) → Z(G
)
z
→
z
G
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
E ell,λ2 ( ˜
G
2 ), les indices λ 1 et λ 2 signifiant que l’on se restreint aux éléments dont
le caractère central se restreint à C 1 (R), resp. C 2 (R), en le caractère λ 1 , resp. λ 2 .
On en déduit comme ci-dessus par recollement un ensemble E ell (G
) et un espace
D ell (G
).
Remarque. Le corps de base est ici R, mais les constructions ci-dessus valent aussi
sur un corps de base local non-archimédien.
Considérons de nouveau des données auxiliaires G
1 , . . ., Δ 1 . Introduisons les
espaces h
, h
1 et h C1 analogues de h pour les groupes G
, G
1 et C 1 . On a une suite
exacte
0 → h
∗
→ h
∗
1 → h
∗
C1 → 0
Au caractère λ 1 est associé un paramètre μ(λ 1 ) ∈ h
∗
C1 . Soit (π 1 , ˜
π 1 ) une représentation irréductible de ˜
G
1 (R) dont le caractère central coïncide avec λ 1 sur C 1 (R).
Alors son paramètre μ(˜ π 1 ) est une W
G
-orbite incluse dans l’ensemble h
∗
1,λ1 des
éléments de h
∗
1 qui se projettent sur μ(λ 1 ). Cet ensemble est un espace affine sous
h
∗ . Quand on change de données auxiliaires, ces espaces affines se recollent. En
effet, avec les notations ci-dessus, λ 12 est un caractère du produit fibré de G
1 et
G
2 au-dessus de G
. Il lui est associé un paramètre
μ(λ 12 ) ∈ h
∗
12 = (h
∗
1 × h
∗
2 )/ diag − (h
∗ )
(on note diag − le plongement antidiagonal). La projection de μ(λ 12 ) dans h C1 ×h C2
est (μ(λ 1 ), −μ(λ 2 )). Soit alors μ 1 ∈ h
∗
1,λ1 . Il existe un unique élément μ 2 ∈ h
∗
2,λ2
tel que (μ 1 , −μ 2 ) se projette sur μ(λ 12 ) dans h
∗
12 . Le recollement associe μ 2 à μ 1 .
Par recollement, on obtient un espace affine sous h
∗ que nous noterons h
G
,∗ .
On ne peut pas recoller les algèbres Z(G
1 ), mais on peut recoller leurs quotients
Z(G
1 )/I(λ 1 ), où I(λ 1 ) est l’idéal bilatère engendré par les X −−X, μ(λ 1 ) pour X ∈
h C1 . On obtient une algèbre notée Z(G
), qui s’identifie à l’algèbre des polynômes
sur h
G
,∗ invariants par W
G
. Cette algèbre agit naturellement sur C
∞
c (G
).
On a défini en 1.2 l’espace affine ˜
μ(ω) + h
θ,∗ . Il s’identifie à h
G
,∗ par la
construction suivante. Notons que h
s’identifie naturellement à h
θ (l’identification
dépend de choix de paires de Borel mais changer ces choix ne modifie l’identification que par l’action d’un élément de W
θ , ce qui nous importe peu). Fixons des
données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . On a défini en [I] 2.8 un élément b que l’on peut
considérer comme un élément de
(1)
(h
∗
1 × h
∗ )/ diag − (h
∗ ).
On vérifie que sa projection dans h
∗
C1 × (1 − θ)(h
∗ ) n’est autre que (−μ(λ 1 ), ˜
μ(ω)).
Pour μ ∈ ˜
μ(ω)+ h
θ,∗ , il existe un unique μ 1 ∈ h
∗
1,λ1 tel que (−μ 1 , μ) se projette sur
b dans l’espace (1). L’application μ → μ 1 fournit l’isomorphisme cherché. Modulo
cet isomorphisme, on a un homomorphisme
Z(G) → Z(G
)
z
→
z
G