IV.2. Stabilité
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y ∈ G
tels que ad x (B, T ) = (B, T ) et ad y (B
, T
) = (B
, T
). Posons e = ad x (e)
et e
= ad y (e
). On écrit γ = te et δ = t
e
, avec t ∈ T et t
∈ T
. On a ξ(t) = t
,
où ξ : T → T
est déduit du diagramme. On a γ = ad x (ue) et δ = ad y (u
e
),
où u = ad x −1 (t) et u
= ad y −1 (t
). Puisque ad y −1 ◦ξ ◦ ad x = ξ, on a ξ(u) = u
.
Ecrivons γ = gγ et δ = g
δ avec g ∈ G(R) et g
∈ G
(R). Pour prouver (ii), on
doit prouver que ξ(H ˜
G (g)) = H ˜
G (g
). Pour cela, il suffit de prouver que tout caractère χ
∈ X
∗ (G
)
Γ R prend la même valeur sur les deux termes. Rappelons que
X
∗ (G
)
Γ R X
∗ (G)
Γ R ,θ . Précisément, cet isomorphisme associe à χ
∈ X
∗ (G
)
Γ R
l’unique élément χ ∈ X
∗ (G)
Γ R ,θ tel que χ
◦ ξ = χ sur T . Soit χ
∈ X
∗ (G
)
Γ R et χ
l’élément associé. On calcule g = xuθ(x)
−1 (t)
−1 (où θ = ad e ) et g
= yu
y
−1 (t
)
−1 .
D’où
χ
(H ˜
G (g
)) = log(|χ
(g
)| R ) = log(|χ
(u
(t
)
−1 )| R ),
χ
◦ ξ(H ˜
G (g)) = χ(H ˜
G (g))
= log(|χ(u(t)
−1 )| R ).
Puisque ξ(u(t)
−1 ) = u
(t
)
−1 , ces deux expressions sont égales, ce qui prouve (1).
Dans le cas où G
est elliptique, on identifie A ˜
G à A ˜
G par ξ et on choisit
pour H ˜
G l’application définie par (1).
On a expliqué en [I] 2.5 comment définir des espaces C
∞
c (G
), I(G
), SI(G
).
Cette construction s’adapte aux espaces de distributions définis en 1.2. Précisément, on a défini en [I] 2.1 et 2.5 la notion de données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1
On n’utilisera ici que des données auxiliaires unitaires, cf. [I] 7.1. Considérons de
telles données. Notons D spec,λ1 ( ˜
G
1 (R)) le sous-espace de D spec ( ˜
G
1 (R)) engendré
par les caractères de représentations (π 1 , ˜
π 1 ) de ˜
G
1 (R) (pour le caractère trivial
de G
1 (R)) telles que le caractère central de π 1 coïncide avec λ 1 sur C 1 (R). Considérons une telle représentation (π 1 , ˜
π 1 ) et d’autres données auxiliaires G
2 ,. . ., Δ 2 .
On définit une représentation (π 2 , ˜
π 2 ) de ˜
G
2 (R), agissant dans le même espace que
(π 1 , ˜
π 1 ), par les formules
π 2 (x 2 ) = λ 12 (x 1 , x 2 )
−1 π 1 (x 1 ), ˜
π 2 (δ 2 ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )
−1 ˜
π 1 (δ 1 )
pour x 2 ∈ G
2 (R) et δ 2 ∈ ˜
G
2 (R), où x 1 est un élément quelconque de G
1 (R)
qui a même projection que x 2 dans G
(R), où δ 1 est un élément quelconque de
˜
G
1 (R) qui a même projection que δ 2 dans ˜
G
(R) et où λ 12 et ˜
λ 12 sont les fonctions
définies en [I] 2.5. Alors le caractère central de π 2 coïncide avec λ 2 sur C 2 (R).
L’application qui, au caractère de (π 1 , ˜
π 1 ), associe celui de (π 2 , ˜
π 2 ), se prolonge
en un isomorphisme de D spec,λ1 ( ˜
G
1 (R)) sur D spec,λ2 ( ˜
G
2 (R)). En recollant par
ces isomorphismes canoniques les espaces D spec,λ1 ( ˜
G
1 (R)) associés à toutes les
données auxiliaires possibles, on obtient un espace que l’on notera D spec (G
).
On définit de même le sous-espace D temp (G
). On vérifie que l’application cidessus qui, à (π 1 , ˜
π 1 ), associe (π 2 , ˜
π 2 ), envoie une représentation elliptique sur
une représentation elliptique. Il lui est associé une bijection de E ell,λ1 ( ˜
G
1 ) sur
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y ∈ G
tels que ad x (B, T ) = (B, T ) et ad y (B
, T
) = (B
, T
). Posons e = ad x (e)
et e
= ad y (e
). On écrit γ = te et δ = t
e
, avec t ∈ T et t
∈ T
. On a ξ(t) = t
,
où ξ : T → T
est déduit du diagramme. On a γ = ad x (ue) et δ = ad y (u
e
),
où u = ad x −1 (t) et u
= ad y −1 (t
). Puisque ad y −1 ◦ξ ◦ ad x = ξ, on a ξ(u) = u
.
Ecrivons γ = gγ et δ = g
δ avec g ∈ G(R) et g
∈ G
(R). Pour prouver (ii), on
doit prouver que ξ(H ˜
G (g)) = H ˜
G (g
). Pour cela, il suffit de prouver que tout caractère χ
∈ X
∗ (G
)
Γ R prend la même valeur sur les deux termes. Rappelons que
X
∗ (G
)
Γ R X
∗ (G)
Γ R ,θ . Précisément, cet isomorphisme associe à χ
∈ X
∗ (G
)
Γ R
l’unique élément χ ∈ X
∗ (G)
Γ R ,θ tel que χ
◦ ξ = χ sur T . Soit χ
∈ X
∗ (G
)
Γ R et χ
l’élément associé. On calcule g = xuθ(x)
−1 (t)
−1 (où θ = ad e ) et g
= yu
y
−1 (t
)
−1 .
D’où
χ
(H ˜
G (g
)) = log(|χ
(g
)| R ) = log(|χ
(u
(t
)
−1 )| R ),
χ
◦ ξ(H ˜
G (g)) = χ(H ˜
G (g))
= log(|χ(u(t)
−1 )| R ).
Puisque ξ(u(t)
−1 ) = u
(t
)
−1 , ces deux expressions sont égales, ce qui prouve (1).
Dans le cas où G
est elliptique, on identifie A ˜
G à A ˜
G par ξ et on choisit
pour H ˜
G l’application définie par (1).
On a expliqué en [I] 2.5 comment définir des espaces C
∞
c (G
), I(G
), SI(G
).
Cette construction s’adapte aux espaces de distributions définis en 1.2. Précisément, on a défini en [I] 2.1 et 2.5 la notion de données auxiliaires G
1 , ˜
G
1 , C 1 , ˆ
ξ 1 , Δ 1
On n’utilisera ici que des données auxiliaires unitaires, cf. [I] 7.1. Considérons de
telles données. Notons D spec,λ1 ( ˜
G
1 (R)) le sous-espace de D spec ( ˜
G
1 (R)) engendré
par les caractères de représentations (π 1 , ˜
π 1 ) de ˜
G
1 (R) (pour le caractère trivial
de G
1 (R)) telles que le caractère central de π 1 coïncide avec λ 1 sur C 1 (R). Considérons une telle représentation (π 1 , ˜
π 1 ) et d’autres données auxiliaires G
2 ,. . ., Δ 2 .
On définit une représentation (π 2 , ˜
π 2 ) de ˜
G
2 (R), agissant dans le même espace que
(π 1 , ˜
π 1 ), par les formules
π 2 (x 2 ) = λ 12 (x 1 , x 2 )
−1 π 1 (x 1 ), ˜
π 2 (δ 2 ) = ˜
λ 12 (δ 1 , δ 2 )
−1 ˜
π 1 (δ 1 )
pour x 2 ∈ G
2 (R) et δ 2 ∈ ˜
G
2 (R), où x 1 est un élément quelconque de G
1 (R)
qui a même projection que x 2 dans G
(R), où δ 1 est un élément quelconque de
˜
G
1 (R) qui a même projection que δ 2 dans ˜
G
(R) et où λ 12 et ˜
λ 12 sont les fonctions
définies en [I] 2.5. Alors le caractère central de π 2 coïncide avec λ 2 sur C 2 (R).
L’application qui, au caractère de (π 1 , ˜
π 1 ), associe celui de (π 2 , ˜
π 2 ), se prolonge
en un isomorphisme de D spec,λ1 ( ˜
G
1 (R)) sur D spec,λ2 ( ˜
G
2 (R)). En recollant par
ces isomorphismes canoniques les espaces D spec,λ1 ( ˜
G
1 (R)) associés à toutes les
données auxiliaires possibles, on obtient un espace que l’on notera D spec (G
).
On définit de même le sous-espace D temp (G
). On vérifie que l’application cidessus qui, à (π 1 , ˜
π 1 ), associe (π 2 , ˜
π 2 ), envoie une représentation elliptique sur
une représentation elliptique. Il lui est associé une bijection de E ell,λ1 ( ˜
G
1 ) sur