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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
l’a déjà dit, l’application pw ˜
G,ω se factorise par I( ˜
G(R), ω). Parce que l’application C
∞
c ( ˜
G(R)) → I( ˜
G(R), ω) est ouverte, notre application continue pw ˜
G,ω se
factorise en une application continue
(1)
I( ˜
G(R), ω) → P W
∞ ( ˜
G, ω)
qui est encore surjective. On sait par ailleurs qu’elle est injective ([81] théorème
5.5), donc bijective. Il reste à prouver que l’application réciproque est continue. On
voit aisément que le diagramme ci-dessus se factorise en un diagramme commutatif
C
∞
c ( ˜
G
(R))
f
→f
→
C
∞
c ( ˜
G(R))
↓
↓
I( ˜
G
(R), ω ◦ p)
→
I( ˜
G(R), ω)
↓
↓
P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p)
→
P W
∞ ( ˜
G, ω) .
L’application horizontale du milieu est continue car l’application du haut l’est,
l’application verticale du haut à droite est continue et l’application verticale du
haut à gauche est ouverte. L’application verticale du bas à gauche est un homéomorphisme. Puisque l’application horizontale du bas admet une section continue, il
en est de même de l’application verticale du bas à droite. C’est-à-dire que l’inverse
de l’application (1) est continue. Cela achève la preuve.
IV.2 Stabilité
IV.2.1 Quelques considérations formelles
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). On doit fixer
une application H ˜
G : ˜
G
(R) → A ˜
G = A G comme en 1.1. Supposons que G
est
elliptique. On a alors un isomorphisme ξ : A ˜
G A ˜
G et
(1) il existe une unique application H ˜
G : ˜
G
(R) → A ˜
G telle que
(i) H ˜
G (yδ) = H G (y) + H ˜
G (δ) pour tous y ∈ G
(R) et δ ∈ ˜
G
(R) ;
(ii) on a H ˜
G (δ) = ξ(H ˜
G (γ)) pour tout couple (δ, γ) ∈ ˜
G
(R) × ˜
G(R) d’éléments semi-simples qui se correspondent.
Preuve. Fixons des éléments semi-simples δ ∈ ˜
G
(R) et γ ∈ ˜
G(R) qui se correspondent. On définit H ˜
G comme l’unique application vérifiant (i) et telle que
H ˜
G (δ) = ξ(H ˜
G (γ)). On doit montrer que cette application vérifie (ii). Fixons
un diagramme (δ, B
, T
, B, T , γ). Notons ξ : T → T
l’homomorphisme qui s’en
déduit. Complétons nos paires de Borel en des paires de Borel épinglées E et E
.
Ecrivons γ = te, avec t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E), notons e
l’image naturelle de e
dans Z( ˜
G
, E
), écrivons δ = t
e
avec t
∈ T
. On a alors ξ(t) = t
. Considérons
un autre diagramme quelconque (δ, B
, T
, B, T, γ). Fixons des éléments x ∈ G et
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
l’a déjà dit, l’application pw ˜
G,ω se factorise par I( ˜
G(R), ω). Parce que l’application C
∞
c ( ˜
G(R)) → I( ˜
G(R), ω) est ouverte, notre application continue pw ˜
G,ω se
factorise en une application continue
(1)
I( ˜
G(R), ω) → P W
∞ ( ˜
G, ω)
qui est encore surjective. On sait par ailleurs qu’elle est injective ([81] théorème
5.5), donc bijective. Il reste à prouver que l’application réciproque est continue. On
voit aisément que le diagramme ci-dessus se factorise en un diagramme commutatif
C
∞
c ( ˜
G
(R))
f
→f
→
C
∞
c ( ˜
G(R))
↓
↓
I( ˜
G
(R), ω ◦ p)
→
I( ˜
G(R), ω)
↓
↓
P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p)
→
P W
∞ ( ˜
G, ω) .
L’application horizontale du milieu est continue car l’application du haut l’est,
l’application verticale du haut à droite est continue et l’application verticale du
haut à gauche est ouverte. L’application verticale du bas à gauche est un homéomorphisme. Puisque l’application horizontale du bas admet une section continue, il
en est de même de l’application verticale du bas à droite. C’est-à-dire que l’inverse
de l’application (1) est continue. Cela achève la preuve.
IV.2 Stabilité
IV.2.1 Quelques considérations formelles
Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique relevante de (G, ˜
G, a). On doit fixer
une application H ˜
G : ˜
G
(R) → A ˜
G = A G comme en 1.1. Supposons que G
est
elliptique. On a alors un isomorphisme ξ : A ˜
G A ˜
G et
(1) il existe une unique application H ˜
G : ˜
G
(R) → A ˜
G telle que
(i) H ˜
G (yδ) = H G (y) + H ˜
G (δ) pour tous y ∈ G
(R) et δ ∈ ˜
G
(R) ;
(ii) on a H ˜
G (δ) = ξ(H ˜
G (γ)) pour tout couple (δ, γ) ∈ ˜
G
(R) × ˜
G(R) d’éléments semi-simples qui se correspondent.
Preuve. Fixons des éléments semi-simples δ ∈ ˜
G
(R) et γ ∈ ˜
G(R) qui se correspondent. On définit H ˜
G comme l’unique application vérifiant (i) et telle que
H ˜
G (δ) = ξ(H ˜
G (γ)). On doit montrer que cette application vérifie (ii). Fixons
un diagramme (δ, B
, T
, B, T , γ). Notons ξ : T → T
l’homomorphisme qui s’en
déduit. Complétons nos paires de Borel en des paires de Borel épinglées E et E
.
Ecrivons γ = te, avec t ∈ T et e ∈ Z( ˜
G, E), notons e
l’image naturelle de e
dans Z( ˜
G
, E
), écrivons δ = t
e
avec t
∈ T
. On a alors ξ(t) = t
. Considérons
un autre diagramme quelconque (δ, B
, T
, B, T, γ). Fixons des éléments x ∈ G et