IV.1. Théorème de Paley–Wiener
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application F ( ˜
G
, ω ◦ p) → F( ˜
G, ω). On voit que cette application se restreint en
une application continue P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p) → P W
∞ ( ˜
G, ω). On peut construire une
section de ces applications de la façon suivante. Fixons une fonction ϕ C sur A
θ
,∗
C,C
qui est de Paley–Wiener et telle que ϕ C (0) = 1. Soit ϕ un élément de F ( ˜
G, ω).
C’est donc une collection de fonctions ϕ ˜
L,τ , où ˜
L parcourt L( ˜
M 0 ) et τ parcourt
E ell,0 ( ˜
L, ω), cette collection étant soumise à une condition d’invariance par W ( ˜
M 0 ).
Soit ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ). Soit ˜
L
son image réciproque dans ˜
G
. On peut supposer que
E ell,0 ( ˜
L, ω) s’identifie à un sous-ensemble de E ell,0 ( ˜
L
, ω ◦ p). On peut identifier
A
∗
˜
L à A
∗
˜
L
⊕ A
θ
,∗
C . Pour τ
∈ E ell,0 ( ˜
L
, ω ◦ p) − E ell,0 ( ˜
L, ω), on pose ϕ
˜
L ,τ = 0. Pour
τ ∈ E ell,0 ( ˜
L, ω), on définit une fonction ϕ
˜
L ,τ
sur A
∗
˜
L ,C
par
ϕ
˜
L ,τ
(λ C + λ ˜
L ) = ϕ C (λ C )ϕ ˜
L,τ (λ ˜
L )
pour tous λ C ∈ A
θ
,∗
C,C et λ ˜
L ∈ A
∗
˜
L,C
. La collection ϕ
de ces fonctions ϕ
˜
L ,τ
appartient à F ( ˜
G
, ω ◦ p). Il est clair que l’application ϕ → ϕ
est une section
de l’application F ( ˜
G
, ω ◦ p) → F( ˜
G, ω) ci-dessus et qu’elle envoie continuement
P W
∞ ( ˜
G, ω) dans P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p). D’autre part, on définit une application
C
∞
c ( ˜
G
(R)) → C
∞
c ( ˜
G(R))
f
→
f
par
f (γ) =
C(R)
f (cγ
) dc,
où γ
est un relèvement quelconque de γ dans ˜
G
(R). Cette application est continue
et admet clairement une section continue.
Le diagramme suivant est commutatif
C
∞
c ( ˜
G
(R))
f
→f
→
C
∞
c ( ˜
G(R))
↓ pw ˜
G ,ω◦p
↓ pw ˜
G,ω
F ( ˜
G
, ω ◦ p)
→
F( ˜
G, ω) .
On connaît déjà le théorème pour (G
, ˜
G
) et pour le caractère ω ◦ p, puisque
celui-ci est de la forme μ
◦ (1 − θ
). Parce que l’application horizontale du haut
est surjective, que l’application pw ˜
G ,ω◦p a pour image P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p) et que
l’application horizontale du bas envoie ce dernier espace sur P W
∞ ( ˜
G, ω), on voit
que pw ˜
G,ω envoie surjectivement C
∞
c ( ˜
G(R)) sur P W
∞ ( ˜
G, ω). Parce que l’application horizontale du haut admet une section continue, la continuité de l’application pw ˜
G,ω : C
∞
c ( ˜
G(R)) → P W
∞ ( ˜
G, ω) résulte de celle de l’application similaire
pw ˜
G ,ω◦p et de celle de l’application P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p) → P W
∞ ( ˜
G, ω). Comme on
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application F ( ˜
G
, ω ◦ p) → F( ˜
G, ω). On voit que cette application se restreint en
une application continue P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p) → P W
∞ ( ˜
G, ω). On peut construire une
section de ces applications de la façon suivante. Fixons une fonction ϕ C sur A
θ
,∗
C,C
qui est de Paley–Wiener et telle que ϕ C (0) = 1. Soit ϕ un élément de F ( ˜
G, ω).
C’est donc une collection de fonctions ϕ ˜
L,τ , où ˜
L parcourt L( ˜
M 0 ) et τ parcourt
E ell,0 ( ˜
L, ω), cette collection étant soumise à une condition d’invariance par W ( ˜
M 0 ).
Soit ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ). Soit ˜
L
son image réciproque dans ˜
G
. On peut supposer que
E ell,0 ( ˜
L, ω) s’identifie à un sous-ensemble de E ell,0 ( ˜
L
, ω ◦ p). On peut identifier
A
∗
˜
L à A
∗
˜
L
⊕ A
θ
,∗
C . Pour τ
∈ E ell,0 ( ˜
L
, ω ◦ p) − E ell,0 ( ˜
L, ω), on pose ϕ
˜
L ,τ = 0. Pour
τ ∈ E ell,0 ( ˜
L, ω), on définit une fonction ϕ
˜
L ,τ
sur A
∗
˜
L ,C
par
ϕ
˜
L ,τ
(λ C + λ ˜
L ) = ϕ C (λ C )ϕ ˜
L,τ (λ ˜
L )
pour tous λ C ∈ A
θ
,∗
C,C et λ ˜
L ∈ A
∗
˜
L,C
. La collection ϕ
de ces fonctions ϕ
˜
L ,τ
appartient à F ( ˜
G
, ω ◦ p). Il est clair que l’application ϕ → ϕ
est une section
de l’application F ( ˜
G
, ω ◦ p) → F( ˜
G, ω) ci-dessus et qu’elle envoie continuement
P W
∞ ( ˜
G, ω) dans P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p). D’autre part, on définit une application
C
∞
c ( ˜
G
(R)) → C
∞
c ( ˜
G(R))
f
→
f
par
f (γ) =
C(R)
f (cγ
) dc,
où γ
est un relèvement quelconque de γ dans ˜
G
(R). Cette application est continue
et admet clairement une section continue.
Le diagramme suivant est commutatif
C
∞
c ( ˜
G
(R))
f
→f
→
C
∞
c ( ˜
G(R))
↓ pw ˜
G ,ω◦p
↓ pw ˜
G,ω
F ( ˜
G
, ω ◦ p)
→
F( ˜
G, ω) .
On connaît déjà le théorème pour (G
, ˜
G
) et pour le caractère ω ◦ p, puisque
celui-ci est de la forme μ
◦ (1 − θ
). Parce que l’application horizontale du haut
est surjective, que l’application pw ˜
G ,ω◦p a pour image P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p) et que
l’application horizontale du bas envoie ce dernier espace sur P W
∞ ( ˜
G, ω), on voit
que pw ˜
G,ω envoie surjectivement C
∞
c ( ˜
G(R)) sur P W
∞ ( ˜
G, ω). Parce que l’application horizontale du haut admet une section continue, la continuité de l’application pw ˜
G,ω : C
∞
c ( ˜
G(R)) → P W
∞ ( ˜
G, ω) résulte de celle de l’application similaire
pw ˜
G ,ω◦p et de celle de l’application P W
∞ ( ˜
G
, ω ◦ p) → P W
∞ ( ˜
G, ω). Comme on