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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Ils sont bornés par
(˜ π Ω,h ∗ , ˜
π Ω,h ∗ )
1/2
ell
(˜ π τ , ˜
π τ )
1/2
ell
ou par l’inverse de ce rapport. Ces deux rapports sont bornés d’après (3) et (9).
En conclusion, le changement de base identifie P W
ell ( ˜
G) et P W
∞
ell ( ˜
G). Il en
résulte une identification de P W
( ˜
G) avec P W
∞ ( ˜
G). Il est clair que l’application du théorème 1.4 est la composée de l’application de Renard de C
∞
c ( ˜
G(R))
dans P W
( ˜
G) avec cet isomorphisme entre les deux espaces de Paley–Wiener. Le
théorème 1.4 résulte ainsi de celui de Renard.
IV.1.6 Extension au cas ω = 1
La méthode est la même qu’en [81] 6.3. On suppose d’abord qu’il existe un caractère μ de G(R) tel que ω = μ ◦ (1 − θ). On fixe un élément γ 0 ∈ ˜
M 0 (R) et on note
1 le caractère trivial de G(R). A toute ω-représentation ˜
π de ˜
G(R), on associe la
1-représentation ˜
π 1 définie par ˜
π 1 (gγ 0 ) = μ(g)˜ π(gγ 0 ) pour tout g ∈ G(R). C’est
une bijection. Construisons un espace F ( ˜
G, ω) comme on a construit P W
∞ ( ˜
G, ω),
en oubliant les conditions de convergence. La bijection précédente induit un isomorphisme de F ( ˜
G, ω) sur F ( ˜
G, 1), qui se restreint en un homéomorphisme de
P W
∞ ( ˜
G, ω) → P W
∞ ( ˜
G, 1). On définit d’autre part une application
C
∞
c ( ˜
G(R)) → C
∞
c ( ˜
G(R))
f
→
f 1
par f 1 (gγ 0 ) = μ(g)
−1 f (gγ 0 ). Notons pw ˜
G,ω : C
∞
c ( ˜
G(R)) → F( ˜
G, ω) l’application du théorème 1.4 pour le caractère ω. Le théorème affirme que son image est
P W
∞ ( ˜
G, ω) et que pw ˜
G,ω se factorise en un homéomorphisme de I( ˜
G(R), ω) sur
cette image. On vérifie que pw ˜
G,ω est la composée de l’application précédente,
de pw ˜
G,1 et de l’isomorphisme inverse F ( ˜
G, 1) → F( ˜
G, ω). Il est alors facile de
déduire les propriétés requises de l’application pw ˜
G,ω de celles déjà connues de
l’application pw ˜
G,1 .
Dans le cas général, on peut évidemment supposer ω trivial sur Z(G)
θ (R)
(sinon le théorème affirme que {0} est homéomorphe à {0}). On introduit un
couple (G
, ˜
G
) comme en [81] 2.4. On a une suite exacte
1 → C → G
p
→ G → 1
où C est un tore central. On a une application ˜
p : ˜
G
→ ˜
G compatible avec p.
L’application G
(R) → G(R) est surjective. Enfin, il existe un caractère μ
de
G
(R) tel que ω ◦ p = μ
◦ (1 − θ
) (où θ
est l’analogue de θ pour (G
, ˜
G
)).
Notons que θ
n’est pas trivial sur C en général. Une ω-représentation de ˜
G(R)
s’identifie à une ω ◦ p-représentation ˜
π
de ˜
G
(R) telle que la représentation sousjacente π
ait un caractère central trivial sur C(R). Cette identification induit une
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Ils sont bornés par
(˜ π Ω,h ∗ , ˜
π Ω,h ∗ )
1/2
ell
(˜ π τ , ˜
π τ )
1/2
ell
ou par l’inverse de ce rapport. Ces deux rapports sont bornés d’après (3) et (9).
En conclusion, le changement de base identifie P W
ell ( ˜
G) et P W
∞
ell ( ˜
G). Il en
résulte une identification de P W
( ˜
G) avec P W
∞ ( ˜
G). Il est clair que l’application du théorème 1.4 est la composée de l’application de Renard de C
∞
c ( ˜
G(R))
dans P W
( ˜
G) avec cet isomorphisme entre les deux espaces de Paley–Wiener. Le
théorème 1.4 résulte ainsi de celui de Renard.
IV.1.6 Extension au cas ω = 1
La méthode est la même qu’en [81] 6.3. On suppose d’abord qu’il existe un caractère μ de G(R) tel que ω = μ ◦ (1 − θ). On fixe un élément γ 0 ∈ ˜
M 0 (R) et on note
1 le caractère trivial de G(R). A toute ω-représentation ˜
π de ˜
G(R), on associe la
1-représentation ˜
π 1 définie par ˜
π 1 (gγ 0 ) = μ(g)˜ π(gγ 0 ) pour tout g ∈ G(R). C’est
une bijection. Construisons un espace F ( ˜
G, ω) comme on a construit P W
∞ ( ˜
G, ω),
en oubliant les conditions de convergence. La bijection précédente induit un isomorphisme de F ( ˜
G, ω) sur F ( ˜
G, 1), qui se restreint en un homéomorphisme de
P W
∞ ( ˜
G, ω) → P W
∞ ( ˜
G, 1). On définit d’autre part une application
C
∞
c ( ˜
G(R)) → C
∞
c ( ˜
G(R))
f
→
f 1
par f 1 (gγ 0 ) = μ(g)
−1 f (gγ 0 ). Notons pw ˜
G,ω : C
∞
c ( ˜
G(R)) → F( ˜
G, ω) l’application du théorème 1.4 pour le caractère ω. Le théorème affirme que son image est
P W
∞ ( ˜
G, ω) et que pw ˜
G,ω se factorise en un homéomorphisme de I( ˜
G(R), ω) sur
cette image. On vérifie que pw ˜
G,ω est la composée de l’application précédente,
de pw ˜
G,1 et de l’isomorphisme inverse F ( ˜
G, 1) → F( ˜
G, ω). Il est alors facile de
déduire les propriétés requises de l’application pw ˜
G,ω de celles déjà connues de
l’application pw ˜
G,1 .
Dans le cas général, on peut évidemment supposer ω trivial sur Z(G)
θ (R)
(sinon le théorème affirme que {0} est homéomorphe à {0}). On introduit un
couple (G
, ˜
G
) comme en [81] 2.4. On a une suite exacte
1 → C → G
p
→ G → 1
où C est un tore central. On a une application ˜
p : ˜
G
→ ˜
G compatible avec p.
L’application G
(R) → G(R) est surjective. Enfin, il existe un caractère μ
de
G
(R) tel que ω ◦ p = μ
◦ (1 − θ
) (où θ
est l’analogue de θ pour (G
, ˜
G
)).
Notons que θ
n’est pas trivial sur C en général. Une ω-représentation de ˜
G(R)
s’identifie à une ω ◦ p-représentation ˜
π
de ˜
G
(R) telle que la représentation sousjacente π
ait un caractère central trivial sur C(R). Cette identification induit une