IV.1. Théorème de Paley–Wiener
437
si μ(τ ) = μ. Notons P W
ell,μ ( ˜
G) le sous-espace de P W
ell ( ˜
G) formé des familles
(ϕ Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell
telles que ϕ Ω,h ∗ = 0 si (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell,μ . Il est clair que l’inclusion de l’espace engendré par les ˜
π Ω,h ∗ pour (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell,μ dans celui engendré
par les ˜
π τ pour τ ∈ E ell,0,μ ( ˜
G) induit une projection P W
∞
ell,μ ( ˜
G) → P W
ell,μ ( ˜
G).
L’inclusion précédente est surjective si et seulement si cette projection est injective. Supposons que ce ne soit pas le cas. En utilisant le théorème de Paley–Wiener
pour les fonctions K-finies ([33] repris en [81] 6.2), on peut construire une fonction
K-finie f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) dont l’image dans P W
∞ ( ˜
G) est non nulle mais appartient
au noyau de la projection. La première propriété implique que l’image de f dans
I( ˜
G(R)) est non nulle. La seconde entraîne que son image dans P W
( ˜
G) est nulle.
D’après le théorème de Renard, l’image de f dans I( ˜
G(R)) est nulle. Cette contradiction prouve (5).
On a donc deux matrices de changement de base
(a (Ω,h ∗ ),τ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell ,τ ∈E ell,0 ( ˜
G)
et (b τ ,(Ω,h ∗ ) ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G),(Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell
,
inverses l’une de l’autre, qui font passer de la base (˜ π Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell
de D ell,0 ( ˜
G(R))
à la base (˜ π τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G) . Comme on l’a dit ci-dessus, ces matrices induisent pour
tout μ un isomorphisme de P W
∞
ell,μ ( ˜
G) sur P W
ell,μ ( ˜
G). Pour prouver que ces
isomorphismes se globalisent en un isomorphisme de P W
∞
ell ( ˜
G) sur P W
ell ( ˜
G), on
voit qu’il suffit de prouver que les matrices de changement de base vérifient les
deux propriétés suivantes :
(6) il existe un entier N tel que, pour tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell , l’ensemble des τ ∈
E ell,0 ( ˜
G) tels que a (Ω,h ∗ ),τ = 0 a au plus N éléments et, pour tout τ ∈
E ell,0 ( ˜
G), l’ensemble des (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell tels que b τ ,(Ω,h ∗ ) = 0 a au plus N
éléments ;
(7) il existe une constante C > 0 telle que, pour tous (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell et τ ∈
E ell,0 ( ˜
G), on a |a (Ω,h ∗ ),τ | ≤ C et |b τ ,(Ω,h ∗ ) | ≤ C.
Les matrices se décomposent en blocs selon les paramètres μ. L’assertion (6)
résulte alors de ce que l’on a déjà dit : le nombre d’éléments de E ell,0,μ ( ˜
G) est borné
indépendamment de μ. La base (˜ π τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G) vérifie des propriétés analogues à
(2) et (3), à savoir :
(8) pour deux éléments distincts τ 1 , τ 2 , on a (˜ π τ 1 , ˜
π τ 2 ) ell = 0 ;
(9) quand τ parcourt E ell,0 ( ˜
G), les produits (˜ π τ , ˜
π τ ) ell ne prennent qu’un nombre
fini de valeurs réelles strictement positives.
Cela résulte de [81] théorème 7.3. Il résulte de (2) et (8) que les coefficients
de nos matrices sont des rapports
(˜ π τ , ˜
π Ω,h ∗ ) ell
(˜ π τ , ˜
π τ ) ell
ou
(˜ π Ω,h ∗ , ˜
π τ ) ell
(˜ π Ω,h ∗ , ˜
π Ω,h ∗ ) ell
.
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si μ(τ ) = μ. Notons P W
ell,μ ( ˜
G) le sous-espace de P W
ell ( ˜
G) formé des familles
(ϕ Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell
telles que ϕ Ω,h ∗ = 0 si (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell,μ . Il est clair que l’inclusion de l’espace engendré par les ˜
π Ω,h ∗ pour (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell,μ dans celui engendré
par les ˜
π τ pour τ ∈ E ell,0,μ ( ˜
G) induit une projection P W
∞
ell,μ ( ˜
G) → P W
ell,μ ( ˜
G).
L’inclusion précédente est surjective si et seulement si cette projection est injective. Supposons que ce ne soit pas le cas. En utilisant le théorème de Paley–Wiener
pour les fonctions K-finies ([33] repris en [81] 6.2), on peut construire une fonction
K-finie f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) dont l’image dans P W
∞ ( ˜
G) est non nulle mais appartient
au noyau de la projection. La première propriété implique que l’image de f dans
I( ˜
G(R)) est non nulle. La seconde entraîne que son image dans P W
( ˜
G) est nulle.
D’après le théorème de Renard, l’image de f dans I( ˜
G(R)) est nulle. Cette contradiction prouve (5).
On a donc deux matrices de changement de base
(a (Ω,h ∗ ),τ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell ,τ ∈E ell,0 ( ˜
G)
et (b τ ,(Ω,h ∗ ) ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G),(Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell
,
inverses l’une de l’autre, qui font passer de la base (˜ π Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell
de D ell,0 ( ˜
G(R))
à la base (˜ π τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G) . Comme on l’a dit ci-dessus, ces matrices induisent pour
tout μ un isomorphisme de P W
∞
ell,μ ( ˜
G) sur P W
ell,μ ( ˜
G). Pour prouver que ces
isomorphismes se globalisent en un isomorphisme de P W
∞
ell ( ˜
G) sur P W
ell ( ˜
G), on
voit qu’il suffit de prouver que les matrices de changement de base vérifient les
deux propriétés suivantes :
(6) il existe un entier N tel que, pour tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell , l’ensemble des τ ∈
E ell,0 ( ˜
G) tels que a (Ω,h ∗ ),τ = 0 a au plus N éléments et, pour tout τ ∈
E ell,0 ( ˜
G), l’ensemble des (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell tels que b τ ,(Ω,h ∗ ) = 0 a au plus N
éléments ;
(7) il existe une constante C > 0 telle que, pour tous (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell et τ ∈
E ell,0 ( ˜
G), on a |a (Ω,h ∗ ),τ | ≤ C et |b τ ,(Ω,h ∗ ) | ≤ C.
Les matrices se décomposent en blocs selon les paramètres μ. L’assertion (6)
résulte alors de ce que l’on a déjà dit : le nombre d’éléments de E ell,0,μ ( ˜
G) est borné
indépendamment de μ. La base (˜ π τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G) vérifie des propriétés analogues à
(2) et (3), à savoir :
(8) pour deux éléments distincts τ 1 , τ 2 , on a (˜ π τ 1 , ˜
π τ 2 ) ell = 0 ;
(9) quand τ parcourt E ell,0 ( ˜
G), les produits (˜ π τ , ˜
π τ ) ell ne prennent qu’un nombre
fini de valeurs réelles strictement positives.
Cela résulte de [81] théorème 7.3. Il résulte de (2) et (8) que les coefficients
de nos matrices sont des rapports
(˜ π τ , ˜
π Ω,h ∗ ) ell
(˜ π τ , ˜
π τ ) ell
ou
(˜ π Ω,h ∗ , ˜
π τ ) ell
(˜ π Ω,h ∗ , ˜
π Ω,h ∗ ) ell
.