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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
˜
T (R)/(1 − θ)(T (R)) du produit d’un certain module, du caractère de ˜
π Ω2,h ∗
2
et
du conjugué du caractère de ˜
π Ω1,h ∗
1
. D’après le résultat évoqué ci-dessus, c’est
une combinaison linéaire finie d’intégrales sur exp(t
θ (R)) de fonctions du type
exp(X) → e
w2(h
∗
2 )−w1(h
∗
1 ),X . L’intégrale d’une telle fonction n’est non nulle que si
w 2 (h
∗
2 ) = w 1 (h
∗
1 ). Une telle égalité (où ne peuvent intervenir que certains éléments
du groupe de Weyl) entraîne que h
∗
1 = h
∗
2 (pour h
∗
1 et h
∗
2 dans notre ensemble
H
∗ (Ω 1 ), cf. remarque ci-dessus).
Preuve de (3). Le même raisonnement montre que, si le caractère de ˜
π Ω,h ∗ en un
point exp(X)γ s’écrit comme produit d’un module explicite et de
w c w e
w(h
∗ ),X ,
alors
(˜ π Ω,h ∗ , ˜
π Ω,h ∗ ) = m
w
|c w |
2 ,
où m est une constante ne dépendant que des mesures. Or les constantes c w intervenant en [69] 15.17 sont de modules 1. La somme ci-dessus est donc m fois le
nombre d’éléments de l’ensemble de sommation. Ce dernier étant un sous-ensemble
de W , l’assertion s’ensuit.
Renard démontre une propriété supplémentaire de ses distributions. Le théorème [69] 15.18 signifie que
(4) pour tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell , ˜
π Ω,h ∗ est supertempérée.
On renvoie à [XI] pour cette notion. Or, dans [XI], il est démontré qu’un élément de D temp ( ˜
G(R)) qui est supertempéré est combinaison linéaire de caractères
de représentations elliptiques. En joignant ce dernier résultat à (1), on obtient que
˜
π Ω,h ∗ ∈ D ell,0 ( ˜
G(R)) pour tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell .
Pour tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell , on peut donc exprimer ˜
π Ω,h ∗ comme combinaison linéaire des ˜
π τ pour τ ∈ E ell,0 ( ˜
G) (rappelons que E ell,0 ( ˜
G) est un ensemble de représentants fixé en 1.4). Plus précisément, pour toute W -orbite dans h
∗ , notons E
˜
G
ell,μ ,
resp. E ell,0,μ ( ˜
G), le sous-ensemble des (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell , resp. des τ ∈ E ell,0 ( ˜
G), tels
que le caractère infinitésimal de ˜
π Ω,h ∗ , resp. ˜
π τ , soit de paramètre μ. Comme on
l’a dit, E
˜
G
ell est réunion des E
˜
G
ell,μ et, de même, E ell,0 ( ˜
G) est réunion des E ell,0,μ ( ˜
G).
L’écriture d’un élément de D ell,0 ( ˜
G(R)) dans la base E ell,0 ( ˜
G) est compatible avec
l’action de Z(G). Donc, pour tout μ et tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell,μ , ˜
π Ω,h ∗ est combinaison
linéaire des ˜
π τ pour τ ∈ E ell,0,μ ( ˜
G). Notons que, d’après sa construction, l’ensemble E ell,0,μ ( ˜
G) est fini et son nombre d’éléments est borné indépendamment de
μ. Montrons que
(5) la famille (˜ π Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell
est une base de D ell,0 ( ˜
G(R)).
Il est clair par (2) et (3) qu’elle est libre. On peut fixer μ et prouver que
l’espace engendré par (˜ π Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell,μ
contient E ell,0,μ ( ˜
G). Notons P W
∞
ell,μ ( ˜
G)
le sous-espace de P W
∞
ell ( ˜
G) formé des familles (ϕ τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G) telles que ϕ τ = 0
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
˜
T (R)/(1 − θ)(T (R)) du produit d’un certain module, du caractère de ˜
π Ω2,h ∗
2
et
du conjugué du caractère de ˜
π Ω1,h ∗
1
. D’après le résultat évoqué ci-dessus, c’est
une combinaison linéaire finie d’intégrales sur exp(t
θ (R)) de fonctions du type
exp(X) → e
w2(h
∗
2 )−w1(h
∗
1 ),X . L’intégrale d’une telle fonction n’est non nulle que si
w 2 (h
∗
2 ) = w 1 (h
∗
1 ). Une telle égalité (où ne peuvent intervenir que certains éléments
du groupe de Weyl) entraîne que h
∗
1 = h
∗
2 (pour h
∗
1 et h
∗
2 dans notre ensemble
H
∗ (Ω 1 ), cf. remarque ci-dessus).
Preuve de (3). Le même raisonnement montre que, si le caractère de ˜
π Ω,h ∗ en un
point exp(X)γ s’écrit comme produit d’un module explicite et de
w c w e
w(h
∗ ),X ,
alors
(˜ π Ω,h ∗ , ˜
π Ω,h ∗ ) = m
w
|c w |
2 ,
où m est une constante ne dépendant que des mesures. Or les constantes c w intervenant en [69] 15.17 sont de modules 1. La somme ci-dessus est donc m fois le
nombre d’éléments de l’ensemble de sommation. Ce dernier étant un sous-ensemble
de W , l’assertion s’ensuit.
Renard démontre une propriété supplémentaire de ses distributions. Le théorème [69] 15.18 signifie que
(4) pour tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell , ˜
π Ω,h ∗ est supertempérée.
On renvoie à [XI] pour cette notion. Or, dans [XI], il est démontré qu’un élément de D temp ( ˜
G(R)) qui est supertempéré est combinaison linéaire de caractères
de représentations elliptiques. En joignant ce dernier résultat à (1), on obtient que
˜
π Ω,h ∗ ∈ D ell,0 ( ˜
G(R)) pour tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell .
Pour tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell , on peut donc exprimer ˜
π Ω,h ∗ comme combinaison linéaire des ˜
π τ pour τ ∈ E ell,0 ( ˜
G) (rappelons que E ell,0 ( ˜
G) est un ensemble de représentants fixé en 1.4). Plus précisément, pour toute W -orbite dans h
∗ , notons E
˜
G
ell,μ ,
resp. E ell,0,μ ( ˜
G), le sous-ensemble des (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell , resp. des τ ∈ E ell,0 ( ˜
G), tels
que le caractère infinitésimal de ˜
π Ω,h ∗ , resp. ˜
π τ , soit de paramètre μ. Comme on
l’a dit, E
˜
G
ell est réunion des E
˜
G
ell,μ et, de même, E ell,0 ( ˜
G) est réunion des E ell,0,μ ( ˜
G).
L’écriture d’un élément de D ell,0 ( ˜
G(R)) dans la base E ell,0 ( ˜
G) est compatible avec
l’action de Z(G). Donc, pour tout μ et tout (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell,μ , ˜
π Ω,h ∗ est combinaison
linéaire des ˜
π τ pour τ ∈ E ell,0,μ ( ˜
G). Notons que, d’après sa construction, l’ensemble E ell,0,μ ( ˜
G) est fini et son nombre d’éléments est borné indépendamment de
μ. Montrons que
(5) la famille (˜ π Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell
est une base de D ell,0 ( ˜
G(R)).
Il est clair par (2) et (3) qu’elle est libre. On peut fixer μ et prouver que
l’espace engendré par (˜ π Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E
˜
G
ell,μ
contient E ell,0,μ ( ˜
G). Notons P W
∞
ell,μ ( ˜
G)
le sous-espace de P W
∞
ell ( ˜
G) formé des familles (ϕ τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G) telles que ϕ τ = 0