IV.1. Théorème de Paley–Wiener
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Il est muni d’un automorphisme θ, égal à l’automorphisme déduit de ad γ pour
n’importe quel γ ∈ ˜
G(R). Notons Ω G la réunion des composantes appartenant
au sous-groupe (1 − θ)(Π). Alors tout ensemble Ω intervenant ci-dessus est une
unique classe modulo Ω G , à droite ou à gauche. Notons Ξ le groupe des caractères
de G(R) triviaux sur Ω G . Pour Ω intervenant ci-dessus et pour ξ ∈ Ξ, notons ˜
ξ Ω
l’unique fonction sur ˜
G(R) telle que ˜
ξ Ω (gγ) = ξ(g) pour tous g ∈ G(R) et γ ∈ Ω.
La fonction caractéristique de Ω est égale à
|Ξ|
−1
ξ∈Ξ
˜
ξ Ω .
Soit (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell . Comme on l’a dit, la distribution Θ Ω,h ∗ est la restriction
à Ω d’un élément de D temp ( ˜
G(R)), que l’on peut écrire
i∈I c i ˜
π i , où I est un
ensemble fini d’indices et, pour tout i ∈ I, c i est un coefficient complexe et ˜
π i est
une représentation irréductible et tempérée. On a alors l’égalité
Θ Ω,h ∗ = |Ξ|
−1
ξ∈Ξ
i∈I
c i ˜
ξ Ω ˜
π i ,
où le produit ˜
ξ Ω ˜
π i se définit de façon évidente. Il est clair que ˜
ξ Ω ˜
π i est encore une
représentation tempérée et irréductible. Cela nous débarrasse du passage par la
restriction à Ω : la distribution Θ Ω,h ∗ s’identifie à un élément de D temp ( ˜
G(R)). On
la note désormais f → I
˜
G (˜ π Ω,h ∗ , f) pour un certain élément ˜
π Ω,h ∗ de D temp ( ˜
G(R)).
Soit (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell et soit comme ci-dessus ˜
T un tore tordu maximal elliptique
tel que ˜
T (R) coupe Ω. Alors Renard calcule le caractère de ˜
π Ω,h ∗ sur ˜
T (R) ([69]
15.17). Fixons γ ∈ ˜
T (R) ∩ Ω. Tout élément de cette intersection est conjugué à un
élément de exp(t
θ (R))γ. En un point exp(X)γ, avec X ∈ t
θ (R), c’est le produit
d’un module explicite avec une combinaison linéaire finie explicite de e
w(h
∗ ),X ,
pour certains w ∈ W . Il en résulte d’abord que
(1) ˜
π Ω,h ∗ admet un caractère central pour l’action de A ˜
G et que celui-ci est
trivial.
Rappelons que l’on peut définir le produit scalaire elliptique (˜ π 1 , ˜
π 2 ) ell de
deux représentations ˜
π 1 et ˜
π 2 se tranformant trivialement sous l’action de A ˜
G , cf.
[81] 7.3. Montrons que
(2) pour deux éléments distincts (Ω 1 , h
∗
1 ) et (Ω 2 , h
∗
2 ) ∈ E
˜
G
ell , on a l’égalité
(˜ π Ω1,h ∗
1
, ˜
π Ω2,h ∗
2
) ell = 0;
(3) quand (Ω, h
∗ ) parcourt E
˜
G
ell , les produits (˜ π Ω,h ∗ , ˜
π Ω,h ∗ ) ne prennent qu’un
nombre fini de valeurs réelles strictement positives.
Preuve de (2). Si Ω 1 est distinct de Ω 2 , les caractères sont de supports disjoints. Si
Ω 1 = Ω 2 , le produit elliptique est, à une constante près, l’intégrale sur un unique
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Il est muni d’un automorphisme θ, égal à l’automorphisme déduit de ad γ pour
n’importe quel γ ∈ ˜
G(R). Notons Ω G la réunion des composantes appartenant
au sous-groupe (1 − θ)(Π). Alors tout ensemble Ω intervenant ci-dessus est une
unique classe modulo Ω G , à droite ou à gauche. Notons Ξ le groupe des caractères
de G(R) triviaux sur Ω G . Pour Ω intervenant ci-dessus et pour ξ ∈ Ξ, notons ˜
ξ Ω
l’unique fonction sur ˜
G(R) telle que ˜
ξ Ω (gγ) = ξ(g) pour tous g ∈ G(R) et γ ∈ Ω.
La fonction caractéristique de Ω est égale à
|Ξ|
−1
ξ∈Ξ
˜
ξ Ω .
Soit (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell . Comme on l’a dit, la distribution Θ Ω,h ∗ est la restriction
à Ω d’un élément de D temp ( ˜
G(R)), que l’on peut écrire
i∈I c i ˜
π i , où I est un
ensemble fini d’indices et, pour tout i ∈ I, c i est un coefficient complexe et ˜
π i est
une représentation irréductible et tempérée. On a alors l’égalité
Θ Ω,h ∗ = |Ξ|
−1
ξ∈Ξ
i∈I
c i ˜
ξ Ω ˜
π i ,
où le produit ˜
ξ Ω ˜
π i se définit de façon évidente. Il est clair que ˜
ξ Ω ˜
π i est encore une
représentation tempérée et irréductible. Cela nous débarrasse du passage par la
restriction à Ω : la distribution Θ Ω,h ∗ s’identifie à un élément de D temp ( ˜
G(R)). On
la note désormais f → I
˜
G (˜ π Ω,h ∗ , f) pour un certain élément ˜
π Ω,h ∗ de D temp ( ˜
G(R)).
Soit (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell et soit comme ci-dessus ˜
T un tore tordu maximal elliptique
tel que ˜
T (R) coupe Ω. Alors Renard calcule le caractère de ˜
π Ω,h ∗ sur ˜
T (R) ([69]
15.17). Fixons γ ∈ ˜
T (R) ∩ Ω. Tout élément de cette intersection est conjugué à un
élément de exp(t
θ (R))γ. En un point exp(X)γ, avec X ∈ t
θ (R), c’est le produit
d’un module explicite avec une combinaison linéaire finie explicite de e
w(h
∗ ),X ,
pour certains w ∈ W . Il en résulte d’abord que
(1) ˜
π Ω,h ∗ admet un caractère central pour l’action de A ˜
G et que celui-ci est
trivial.
Rappelons que l’on peut définir le produit scalaire elliptique (˜ π 1 , ˜
π 2 ) ell de
deux représentations ˜
π 1 et ˜
π 2 se tranformant trivialement sous l’action de A ˜
G , cf.
[81] 7.3. Montrons que
(2) pour deux éléments distincts (Ω 1 , h
∗
1 ) et (Ω 2 , h
∗
2 ) ∈ E
˜
G
ell , on a l’égalité
(˜ π Ω1,h ∗
1
, ˜
π Ω2,h ∗
2
) ell = 0;
(3) quand (Ω, h
∗ ) parcourt E
˜
G
ell , les produits (˜ π Ω,h ∗ , ˜
π Ω,h ∗ ) ne prennent qu’un
nombre fini de valeurs réelles strictement positives.
Preuve de (2). Si Ω 1 est distinct de Ω 2 , les caractères sont de supports disjoints. Si
Ω 1 = Ω 2 , le produit elliptique est, à une constante près, l’intégrale sur un unique