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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
ϕ τ = 0 pour presque tout τ . En supprimant les exposants
∞ , on définit comme cidessus l’espace P W ( ˜
G, ω), qui est un sous-espace de P W
∞ ( ˜
G, ω). Alors l’application du théorème se restreint en un isomorphisme de I( ˜
G(R), ω, K) sur P W ( ˜
G, ω).
IV.1.5 La transition entre le théorème de Renard et le théorème 1.4
On suppose ω = 1. On oublie les questions de mesures en fixant des mesures
de Haar sur tous les groupes intervenant. Considérons un sous-ensemble Ω de
˜
G(R) qui est réunion de composantes connexes pour la topologie réelle et qui
est engendré par conjugaison sous G(R) par une seule telle composante. Il peut
n’exister aucun sous-tore tordu maximal elliptique ˜
T de ˜
G tel que ˜
T (R)∩Ω soit non
vide. Supposons qu’il en existe un. Alors il n’en existe qu’un, à conjugaison près
par G(R) ([69] lemme 12.12). Fixons un tel tore tordu ˜
T . Notons t
θ, ˜
G l’orthogonal
de a ˜
G dans t
θ . Renard introduit un certain sous-ensemble de it
θ, ˜
G (R), notonsle H
∗ (Ω).
Remarque. Plus précisément, Renard introduit un tel sous-ensemble sur lequel
agit un certain groupe de Weyl. Les constructions de Renard pour deux éléments
conjugués par ce groupe sont essentiellement les mêmes. Aussi, nous prendrons
pour H
∗ (Ω) un ensemble de représentants des orbites dans l’ensemble de Renard
pour l’action de ce groupe.
Pour h
∗
∈ H
∗ (Ω), il définit une distribution Θ Ω,h ∗ sur Ω qui vérifie de nombreuses propriétés. C’est une distribution propre pour l’action de Z(G), donc il
lui est associée une W -orbite μ(h
∗ ) dans h
∗ . D’après [69] paragraphe 18, c’est la
restriction à Ω d’un élément de D temp ( ˜
G(R)). On peut donc tensoriser la distribution Θ Ω,h ∗ par un élément λ ∈ A
∗
˜
G
: on note Θ Ω,h ∗ ,λ la distribution obtenue. Notons E
˜
G
ell l’ensemble des paires (Ω, h
∗ ), où Ω parcourt les sous-ensembles de ˜
G(R)
vérifiant les conditions ci-dessus et h
∗ parcourt H
∗ (Ω). Remarquons qu’il n’y a
qu’un nombre fini de Ω puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de composantes connexes
pour la topologie réelle. On définit une fonction d sur E
˜
G
ell : pour (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell ,
d(Ω, h
∗ ) = |μ(h
∗ )|. On introduit l’espace de Paley–Wiener associé à cet ensemble
E
˜
G
ell et à cette fonction d. Notons-le P W
ell ( ˜
G). De nouveau, le groupe W ( ˜
M 0 ) agit
naturellement sur
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
ell ( ˜
L).
On note P W
( ˜
G) le sous-espace des invariants. On pose E = ∪ ˜
L∈L( ˜
M0) E
˜
L
ell .
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) pour ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et pour (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
L , on définit
une fonction ϕ Ω,h ∗ sur A
∗
˜
L,C
par ϕ Ω,h ∗ (λ) = Θ Ω,h ∗ ,λ (f ˜
L ). Renard démontre que
l’application qui, à f , associe la famille de fonctions (ϕ Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E se quotiente
en un homéomorphisme de I( ˜
G(R)) sur P W
( ˜
G).
D’après [26] corollaire 14.5, le groupe Π des composantes connexes de G(R)
pour la topologie réelle est un groupe abélien fini, en fait une puissance de Z/2Z.
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
ϕ τ = 0 pour presque tout τ . En supprimant les exposants
∞ , on définit comme cidessus l’espace P W ( ˜
G, ω), qui est un sous-espace de P W
∞ ( ˜
G, ω). Alors l’application du théorème se restreint en un isomorphisme de I( ˜
G(R), ω, K) sur P W ( ˜
G, ω).
IV.1.5 La transition entre le théorème de Renard et le théorème 1.4
On suppose ω = 1. On oublie les questions de mesures en fixant des mesures
de Haar sur tous les groupes intervenant. Considérons un sous-ensemble Ω de
˜
G(R) qui est réunion de composantes connexes pour la topologie réelle et qui
est engendré par conjugaison sous G(R) par une seule telle composante. Il peut
n’exister aucun sous-tore tordu maximal elliptique ˜
T de ˜
G tel que ˜
T (R)∩Ω soit non
vide. Supposons qu’il en existe un. Alors il n’en existe qu’un, à conjugaison près
par G(R) ([69] lemme 12.12). Fixons un tel tore tordu ˜
T . Notons t
θ, ˜
G l’orthogonal
de a ˜
G dans t
θ . Renard introduit un certain sous-ensemble de it
θ, ˜
G (R), notonsle H
∗ (Ω).
Remarque. Plus précisément, Renard introduit un tel sous-ensemble sur lequel
agit un certain groupe de Weyl. Les constructions de Renard pour deux éléments
conjugués par ce groupe sont essentiellement les mêmes. Aussi, nous prendrons
pour H
∗ (Ω) un ensemble de représentants des orbites dans l’ensemble de Renard
pour l’action de ce groupe.
Pour h
∗
∈ H
∗ (Ω), il définit une distribution Θ Ω,h ∗ sur Ω qui vérifie de nombreuses propriétés. C’est une distribution propre pour l’action de Z(G), donc il
lui est associée une W -orbite μ(h
∗ ) dans h
∗ . D’après [69] paragraphe 18, c’est la
restriction à Ω d’un élément de D temp ( ˜
G(R)). On peut donc tensoriser la distribution Θ Ω,h ∗ par un élément λ ∈ A
∗
˜
G
: on note Θ Ω,h ∗ ,λ la distribution obtenue. Notons E
˜
G
ell l’ensemble des paires (Ω, h
∗ ), où Ω parcourt les sous-ensembles de ˜
G(R)
vérifiant les conditions ci-dessus et h
∗ parcourt H
∗ (Ω). Remarquons qu’il n’y a
qu’un nombre fini de Ω puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de composantes connexes
pour la topologie réelle. On définit une fonction d sur E
˜
G
ell : pour (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
G
ell ,
d(Ω, h
∗ ) = |μ(h
∗ )|. On introduit l’espace de Paley–Wiener associé à cet ensemble
E
˜
G
ell et à cette fonction d. Notons-le P W
ell ( ˜
G). De nouveau, le groupe W ( ˜
M 0 ) agit
naturellement sur
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
ell ( ˜
L).
On note P W
( ˜
G) le sous-espace des invariants. On pose E = ∪ ˜
L∈L( ˜
M0) E
˜
L
ell .
Pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) pour ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et pour (Ω, h
∗ ) ∈ E
˜
L , on définit
une fonction ϕ Ω,h ∗ sur A
∗
˜
L,C
par ϕ Ω,h ∗ (λ) = Θ Ω,h ∗ ,λ (f ˜
L ). Renard démontre que
l’application qui, à f , associe la famille de fonctions (ϕ Ω,h ∗ ) (Ω,h ∗ )∈E se quotiente
en un homéomorphisme de I( ˜
G(R)) sur P W
( ˜
G).
D’après [26] corollaire 14.5, le groupe Π des composantes connexes de G(R)
pour la topologie réelle est un groupe abélien fini, en fait une puissance de Z/2Z.