IV.1. Théorème de Paley–Wiener
433
IV.1.4 Enoncé du théorème
On définit une fonction d : E ell,0 ( ˜
G, ω) → R ≥0 par d(τ ) = |μ(τ )|, où l’on désigne
ainsi la norme pour la forme hermitienne fixée sur h d’un élément quelconque de
μ(τ ). On définit l’espace P W
∞
ell ( ˜
G, ω) comme celui des fonctions ϕ : E ell ( ˜
G, ω) → C
qui vérifient les conditions suivantes :
(1) si deux éléments τ et τ
de E ell ( ˜
G, ω) sont conjugués par G(R), alors ϕ(τ ) =
ϕ(τ
) ;
(2) pour τ ∈ E ell ( ˜
G, ω) et z ∈ U, on a ϕ(zτ ) = zϕ(τ ) ;
(3) pour τ ∈ E ell ( ˜
G, ω), la fonction λ → ϕ(τ λ ) sur iA
∗
˜
G
s’étend en une fonction
entière ϕ τ sur A
∗
˜
G,C
;
(4) fixons un ensemble de représentants E ell,0 ( ˜
G, ω) de représentants des classes
d’équivalence dans E ell,0 ( ˜
G, ω) pour l’équivalence engendrée par la conjugaison par G(R) et par l’action de U ; alors la famille (ϕ τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G,ω) appartient
à l’espace de Paley–Wiener défini en 1.3 relatif à l’ensemble E ell,0 ( ˜
G, ω) muni
de la fonction d.
Le groupe W ( ˜
M 0 ) agit naturellement dans
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞
ell ( ˜
L, ω).
On note P W
∞ ( ˜
G, ω) le sous-espace des invariants.
Remarque. On peut se limiter aux ˜
L tels que la restriction de ω à Z(L; R)
θ est
triviale. Pour les autres, les espaces correspondants sont nuls pour la simple raison
que les ensembles E ell ( ˜
L, ω) sont vides : il n’y a pas de ω-représentations de ˜
L(R).
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)). Pour ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et τ ∈ E ell ( ˜
L, ω), posons ϕ f (τ ) = I
˜
L (˜ π τ , f ˜
L,ω ) = trace(˜ π τ (f ˜
L,ω )). On peut aussi dire que ϕ f (τ ) =
I
˜
G (Ind
˜
G
˜
Q
(˜ π τ ), f ) = trace(Ind
˜
G
˜
Q
(˜ π τ )(f )), où ˜
Q est un espace parabolique quelconque
de composante de Levi ˜
L. On a ainsi défini une application linéaire qui, à f ∈
C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), associe une famille de fonctions sur ˜
L∈L( ˜
M0) E ell ( ˜
L,ω).
Elle se quotiente en une application linéaire sur I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)).
Théorème. Cette application est un homéomorphisme de I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R))
sur P W
∞ ( ˜
G, ω).
Ce théorème est prouvé par Renard ([69] théorème 17.5). La formulation
de Renard étant largement différente de la nôtre, nous montrerons dans les deux
paragraphes suivants pourquoi l’énoncé de Renard implique l’énoncé ci-dessus.
Rappelons pour mémoire le résultat de Delorme et Mezo.
On note C
∞
c ( ˜
G(R), K) l’espace des éléments de C
∞
c ( ˜
G(R)) qui sont K-finis
à droite et à gauche. On note I( ˜
G(R), ω, K) son image dans I( ˜
G(R), ω). Notons
P W ell ( ˜
G, ω) le sous-espace des familles (ϕ τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G,ω) ∈ P W
∞
ell ( ˜
G, ω) telles que
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IV.1.4 Enoncé du théorème
On définit une fonction d : E ell,0 ( ˜
G, ω) → R ≥0 par d(τ ) = |μ(τ )|, où l’on désigne
ainsi la norme pour la forme hermitienne fixée sur h d’un élément quelconque de
μ(τ ). On définit l’espace P W
∞
ell ( ˜
G, ω) comme celui des fonctions ϕ : E ell ( ˜
G, ω) → C
qui vérifient les conditions suivantes :
(1) si deux éléments τ et τ
de E ell ( ˜
G, ω) sont conjugués par G(R), alors ϕ(τ ) =
ϕ(τ
) ;
(2) pour τ ∈ E ell ( ˜
G, ω) et z ∈ U, on a ϕ(zτ ) = zϕ(τ ) ;
(3) pour τ ∈ E ell ( ˜
G, ω), la fonction λ → ϕ(τ λ ) sur iA
∗
˜
G
s’étend en une fonction
entière ϕ τ sur A
∗
˜
G,C
;
(4) fixons un ensemble de représentants E ell,0 ( ˜
G, ω) de représentants des classes
d’équivalence dans E ell,0 ( ˜
G, ω) pour l’équivalence engendrée par la conjugaison par G(R) et par l’action de U ; alors la famille (ϕ τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G,ω) appartient
à l’espace de Paley–Wiener défini en 1.3 relatif à l’ensemble E ell,0 ( ˜
G, ω) muni
de la fonction d.
Le groupe W ( ˜
M 0 ) agit naturellement dans
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) P W
∞
ell ( ˜
L, ω).
On note P W
∞ ( ˜
G, ω) le sous-espace des invariants.
Remarque. On peut se limiter aux ˜
L tels que la restriction de ω à Z(L; R)
θ est
triviale. Pour les autres, les espaces correspondants sont nuls pour la simple raison
que les ensembles E ell ( ˜
L, ω) sont vides : il n’y a pas de ω-représentations de ˜
L(R).
Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)). Pour ˜
L ∈ L( ˜
M 0 ) et τ ∈ E ell ( ˜
L, ω), posons ϕ f (τ ) = I
˜
L (˜ π τ , f ˜
L,ω ) = trace(˜ π τ (f ˜
L,ω )). On peut aussi dire que ϕ f (τ ) =
I
˜
G (Ind
˜
G
˜
Q
(˜ π τ ), f ) = trace(Ind
˜
G
˜
Q
(˜ π τ )(f )), où ˜
Q est un espace parabolique quelconque
de composante de Levi ˜
L. On a ainsi défini une application linéaire qui, à f ∈
C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), associe une famille de fonctions sur ˜
L∈L( ˜
M0) E ell ( ˜
L,ω).
Elle se quotiente en une application linéaire sur I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)).
Théorème. Cette application est un homéomorphisme de I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R))
sur P W
∞ ( ˜
G, ω).
Ce théorème est prouvé par Renard ([69] théorème 17.5). La formulation
de Renard étant largement différente de la nôtre, nous montrerons dans les deux
paragraphes suivants pourquoi l’énoncé de Renard implique l’énoncé ci-dessus.
Rappelons pour mémoire le résultat de Delorme et Mezo.
On note C
∞
c ( ˜
G(R), K) l’espace des éléments de C
∞
c ( ˜
G(R)) qui sont K-finis
à droite et à gauche. On note I( ˜
G(R), ω, K) son image dans I( ˜
G(R), ω). Notons
P W ell ( ˜
G, ω) le sous-espace des familles (ϕ τ ) τ ∈E ell,0 ( ˜
G,ω) ∈ P W
∞
ell ( ˜
G, ω) telles que