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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Il existe des constantes c 1 , c 2 > 0 telles que
|Q(Re(λ))| ≤ c 1 (1 + | Re(λ)|)
N
et (1 + x)
N e
−x
≤ c 2 pour tout x ≥ 0. Ainsi l’expression précédente est majorée
par le produit d’une constante et de
(7)
(1 + d(e))
N
|P (λ)|e
−r| Re(λ)|
|f e (λ)|.
Par les règles usuelles de dérivation, on déduit de (5) et (6) l’existence d’un opérateur différentiel à coefficients constants ∂ P sur V , d’ordre au plus 2N , tel que
(8)
P (λ)f e (λ) =
V
∂ P ϕ e (x)e
2π(x,λ) dx
et
(9)
∂ P ϕ e (x) =
iV
P (λ)f e (λ)e
−2π(x,λ) dλ.
Il existe une constante c 3 > 0 telle que
|P (λ)| ≤ c 3 (1 + |λ|)
2N .
Alors, pour λ ∈ iV ,
|P (λ)f e (λ)| ≤ c 3 N 4N +4D (f )(1 + |λ|)
2N (1 + d(e) + |λ|)
−4N −4D .
On utilise que (1 + x + y) ≥ (1 + x)
1/2 (1 + y)
1/2 pour tous x, y ≥ 0 et on obtient
|P (λ)f e (λ)| ≤ c 3 N 4N +4 (f )(1 + |λ|)
−2D (1 + d(e))
−2N −2D .
La fonction λ → (1 + |λ|)
−2D est intégrable sur iV . Grâce à (9), on en déduit
l’existence de c 4 > 0 tel que
∂ P ϕ e (x) ≤ c 4 N 4N +4D (f )(1 + d(e))
−2N −2D
pour tout x ∈ V . Grâce à (8) et à la propriété du support de ϕ e , on obtient une
constante c 5 > 0 telle que
|P (λ)f e (λ)| ≤ c 5 N 4N +4D (f )(1 + d(e))
−2N −2D e
r| Re(λ)|
pour tout λ ∈ V C . Alors, l’expression (7) est bornée par le produit d’une constante
et de N 4N +4D (f ). Cela prouve la majoration (4) et le lemme.
Ce lemme étant démontré, on n’aura plus besoin de distinguer P W de P W
et on ne conservera que la notation P W .