IV.1. Théorème de Paley–Wiener
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l’aide de la forme quadratique. On considère donc que f e est définie sur V C pour
tout e.
Fixons > 0. On va montrer que, pour tout r > 0, P W
r est inclus dans
P W
r+ et que cette injection est continue. Pour cela, fixons r > 0 et N ∈ N. On
va prouver plus précisément qu’il existe c > 0 (dépendant de N , r et ) tel que,
pour tout f ∈ P W
r , on ait l’inégalité
(4)
N
r+
N (f ) ≤ cN 4N +4D (f ).
Soit f = (f e ) e∈E ∈ P W
r . Pour tout e ∈ E, on définit une fonction ϕ e sur V par
(5)
ϕ e (x) =
iV
f e (λ)e
−2π(x,λ) dλ.
La condition (2) entraîne que la fonction ϕ e est C
∞ et, par un procédé usuel
de déplacement de contour, que cette fonction est à support dans l’ensemble des
x ∈ V tels que |x| ≤ r/2π. Par inversion de Fourier, on a
(6)
f e (λ) =
V
ϕ e (x)e
2π(x,λ) dx
pour λ ∈ iV et cette égalité persiste pour tout λ ∈ V C par continuation holomorphe. On veut majorer l’expression
(1 + d(e) + |λ|)
N e
−(r+)| Re(λ)|
|f e (λ)|
pour tout e ∈ E et tout λ ∈ V C . On a tout d’abord
(1 + d(e) + |λ|)
N
≤ (1 + d(e))
N (1 + |λ|)
N
car 1 + x + y ≤ (1 + x)(1 + y) pour tous x, y ≥ 0. On a
(1 + |λ|)
N
≤ 2
N (1 + |λ|
2 )
N = 2
N (1 + | Im(λ)|
2 + | Re(λ)|
2 )
N
car 1+x ≤ 2(1+x
2 ) pour tout x ≥ 0. Introduisons des coordonnées sur V relatives
à une base orthogonale. On a
1 + | Im(λ)|
2 + | Re(λ)|
2 = 1 +
j=1,...,D
(Im(λ j )
2 + Re(λ j )
2 )
= 1 +
j=1,...,D
(−λ
2
j + 2λ j Re(λ j )).
Ainsi (1 + | Im(λ)|
2 + | Re(λ)|
2 )
N s’exprime comme combinaison linéaire finie de
produits de monômes de degré au plus 2N en les λ j et de monômes de degré
au plus N en les Re(λ j ). On peut aussi bien fixer deux tels monômes P (λ) et
Q(Re(λ)) et majorer
(1 + d(e))
N
|P (λ)||Q(Re(λ))|e
−(r+)| Re(λ)|
|f e (λ)|.