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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Pour tout réel r > 0, notons P W
r l’espace des familles f = (f e ) e∈E , où, pour
tout e ∈ E, f e est une fonction entière sur V
∗
e,C , qui vérifient la condition
(1) pour tout N ∈ N, il existe C N > 0 tel que, pour tout e ∈ E et tout λ ∈ V
∗
e,C ,
on ait l’inégalité
|f e (λ)| ≤ C N (1 + d(e) + |λ|)
−N e
r| Re(λ)| .
On munit cet espace de la famille de semi-normes
N
r
N (f ) =
sup
e∈E,λ∈V ∗
e,C
(1 + d(e) + |λ|)
N e
−r| Re(λ)|
|f e (λ)|
pour N ∈ N. C’est un espace de Fréchet. Pour r < r
, l’injection P W
r
→ P W
r
est continue et on note P W la limite inductive des P W
r , muni de la topologie
limite inductive.
Pour tout réel r > 0, notons P W
r l’espace des familles f = (f e ) e∈E , où, pour
tout e ∈ E, f e est une fonction entière sur V
∗
e,C , qui vérifient les conditions
(2) pour tout N et tout e ∈ E, il existe C N (e) > 0 tel que, pour tout λ ∈ V
∗
e,C ,
on ait l’inégalité
|f e (λ)| ≤ C N (e)(1 + |λ|)
−N e
r| Re(λ)| ;
(3) pour tout N , il existe C N > 0 tel que, pour tout e ∈ E et tout λ ∈ iV
∗
e , on
ait l’inégalité
|f e (λ)| ≤ C N (1 + d(e) + |λ|)
−N .
On munit P W
r de la famille de semi-normes
N N (f ) =
sup
e∈E,λ∈iV ∗
e
(1 + d(e) + |λ|)
N
|f e (λ)|
pour N ∈ N. De nouveau, on note P W la limite inductive des P W
r munie de la
topologie limite inductive.
Il est clair que, pour tout r, P W
r est inclus dans P W
r et que cette injection
est continue. D’où une injection continue P W ⊂ P W .
Lemme. Cette application est bijective et c’est un homéomorphisme.
Remarque. Ce lemme est élémentaire. On n’en donne une preuve que pour la
commodité du rédacteur.
Preuve. On peut décomposer E en union finie disjointe de sous-ensembles sur
lesquels la fonction e → dim(V e ) est constante. On voit qu’il suffit de démontrer
le lemme analogue obtenu en remplaçant E par un tel sous-ensemble. En oubliant
cela, on peut supposer que l’espace V e , muni de sa forme quadratique, est constant
et on l’identifie à un espace fixe V . Pour simplifier, on identifie V à son dual V
∗ à