IV.1. Théorème de Paley–Wiener
429
On a défini en [81] 6.2 l’ensemble E ell ( ˜
G, ω). Il est formé de triplets τ =
(M, σ, ˜
r), où M est un Levi de G contenant M 0 , σ est une représentation irréductible de la série discrète de M (R) et ˜
r est un élément de l’ensemble R
˜
G (σ) défini
en [81] 2.8. Ces éléments sont soumis à des conditions telles qu’à τ est associée
une représentation «elliptique» ˜
π τ de ˜
G(R). Deux triplets peuvent être conjugués par G(R) et donnent dans ce cas la même représentation de ˜
G(R). D’autre
part, le groupe U = {z ∈ C; |z| = 1} agit naturellement sur l’ensemble R
˜
G (σ),
donc sur E ell ( ˜
G, ω) par z(M, σ, ˜
r) = (M, σ, z˜ r). On a ˜
π zτ = z ˜
π τ (on rappelle que,
dans notre situation tordue, les «représentations» peuvent être multipliées par un
nombre complexe). Pour un couple (M, σ) comme ci-dessus et pour λ ∈ A
∗
˜
G,C
, on
définit la représentation σ λ . La restriction à iA
∗
˜
G
de cette action de A
∗
˜
G,C
s’étend
en une action τ → τ λ de iA
∗
˜
G
sur E ell ( ˜
G, ω). On a ˜
π τ λ = (˜ π τ ) λ .
Pour M et σ comme ci-dessus, σ possède un caractère central χ σ et un
caractère central infinitésimal qui est paramétré par une orbite μ(σ) du groupe de
Weyl W
M dans h
∗ , plus précisément dans h
M,∗
R
⊕ ia
∗
M (R). Pour τ = (M, σ, ˜
r) ∈
E ell ( ˜
G, ω), on note μ(τ ) la W -orbite engendrée par μ(σ). On note E ell,0 ( ˜
G, ω) le
sous-ensemble des τ = (M, σ, ˜
r) ∈ E ell ( ˜
G, ω) tels que χ σ soit trivial sur A ˜
G .
Tout élément de E ell ( ˜
G, ω) s’écrit de façon unique τ λ pour un couple (τ , λ) ∈
E ell,0 ( ˜
G, ω) × iA
∗
˜
G
. On note D ell ( ˜
G(R), ω), resp. D ell,0 ( ˜
G(R), ω), le sous-espace
de D temp ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères des représentations ˜
π τ pour τ ∈
E ell ( ˜
G, ω), resp. E ell,0 ( ˜
G, ω). Pour toute W -orbite μ dans h
∗ , on définit les espaces
D ell,μ ( ˜
G(R), ω), resp. D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω), en se limitant aux τ tels que μ(τ ) = μ. On
a D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) = D ell,μ ( ˜
G(R), ω) si la projection de μ dans a
∗
˜
G
(C) est nulle.
Sinon, D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) = 0.
On note D ell,C ( ˜
G(R), ω) le sous-espace de D spec ( ˜
G(R), ω) engendré par les
caractères de représentations (˜ π τ ) λ pour τ ∈ E ell ( ˜
G, ω) et λ ∈ A
∗
˜
G,C
. On a l’égalité
(2)
D spec ( ˜
G(R), ω) =
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) Ind
˜
G
˜
L
(D ell,C ( ˜
L(R), ω))
W ( ˜
M0)
.
IV.1.3 Espaces de Paley–Wiener
On considère les données suivantes :
– E est un ensemble ;
– D est un entier positif ou nul ;
– d : E → R ≥0 est une fonction ;
– pour tout e ∈ E, V e est un espace vectoriel réel de dimension inférieure ou
égale à D muni d’une forme quadratique définie positive.
L’espace dual V
∗
e est donc lui-aussi muni d’une telle forme. On prolonge ces
formes en des formes hermitiennes sur V e,C et V
∗
e,C .
429
On a défini en [81] 6.2 l’ensemble E ell ( ˜
G, ω). Il est formé de triplets τ =
(M, σ, ˜
r), où M est un Levi de G contenant M 0 , σ est une représentation irréductible de la série discrète de M (R) et ˜
r est un élément de l’ensemble R
˜
G (σ) défini
en [81] 2.8. Ces éléments sont soumis à des conditions telles qu’à τ est associée
une représentation «elliptique» ˜
π τ de ˜
G(R). Deux triplets peuvent être conjugués par G(R) et donnent dans ce cas la même représentation de ˜
G(R). D’autre
part, le groupe U = {z ∈ C; |z| = 1} agit naturellement sur l’ensemble R
˜
G (σ),
donc sur E ell ( ˜
G, ω) par z(M, σ, ˜
r) = (M, σ, z˜ r). On a ˜
π zτ = z ˜
π τ (on rappelle que,
dans notre situation tordue, les «représentations» peuvent être multipliées par un
nombre complexe). Pour un couple (M, σ) comme ci-dessus et pour λ ∈ A
∗
˜
G,C
, on
définit la représentation σ λ . La restriction à iA
∗
˜
G
de cette action de A
∗
˜
G,C
s’étend
en une action τ → τ λ de iA
∗
˜
G
sur E ell ( ˜
G, ω). On a ˜
π τ λ = (˜ π τ ) λ .
Pour M et σ comme ci-dessus, σ possède un caractère central χ σ et un
caractère central infinitésimal qui est paramétré par une orbite μ(σ) du groupe de
Weyl W
M dans h
∗ , plus précisément dans h
M,∗
R
⊕ ia
∗
M (R). Pour τ = (M, σ, ˜
r) ∈
E ell ( ˜
G, ω), on note μ(τ ) la W -orbite engendrée par μ(σ). On note E ell,0 ( ˜
G, ω) le
sous-ensemble des τ = (M, σ, ˜
r) ∈ E ell ( ˜
G, ω) tels que χ σ soit trivial sur A ˜
G .
Tout élément de E ell ( ˜
G, ω) s’écrit de façon unique τ λ pour un couple (τ , λ) ∈
E ell,0 ( ˜
G, ω) × iA
∗
˜
G
. On note D ell ( ˜
G(R), ω), resp. D ell,0 ( ˜
G(R), ω), le sous-espace
de D temp ( ˜
G(R), ω) engendré par les caractères des représentations ˜
π τ pour τ ∈
E ell ( ˜
G, ω), resp. E ell,0 ( ˜
G, ω). Pour toute W -orbite μ dans h
∗ , on définit les espaces
D ell,μ ( ˜
G(R), ω), resp. D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω), en se limitant aux τ tels que μ(τ ) = μ. On
a D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) = D ell,μ ( ˜
G(R), ω) si la projection de μ dans a
∗
˜
G
(C) est nulle.
Sinon, D ell,0,μ ( ˜
G(R), ω) = 0.
On note D ell,C ( ˜
G(R), ω) le sous-espace de D spec ( ˜
G(R), ω) engendré par les
caractères de représentations (˜ π τ ) λ pour τ ∈ E ell ( ˜
G, ω) et λ ∈ A
∗
˜
G,C
. On a l’égalité
(2)
D spec ( ˜
G(R), ω) =
⊕ ˜
L∈L( ˜
M0) Ind
˜
G
˜
L
(D ell,C ( ˜
L(R), ω))
W ( ˜
M0)
.
IV.1.3 Espaces de Paley–Wiener
On considère les données suivantes :
– E est un ensemble ;
– D est un entier positif ou nul ;
– d : E → R ≥0 est une fonction ;
– pour tout e ∈ E, V e est un espace vectoriel réel de dimension inférieure ou
égale à D muni d’une forme quadratique définie positive.
L’espace dual V
∗
e est donc lui-aussi muni d’une telle forme. On prolonge ces
formes en des formes hermitiennes sur V e,C et V
∗
e,C .