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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Pour λ ∈ A
∗
˜
G,C
et pour une ω-représentation (π, ˜
π), on définit (π λ , ˜
π λ ) par
π λ (g) = e λ,H ˜
G (g)횿 π(g) et ˜
π λ (γ) = e λ,H ˜
G (γ)횿 ˜
π(γ). L’action ainsi obtenue de A
∗
˜
G,C
sur l’ensemble des ω-représentations (à isomorphisme près) est libre.
Notons Z(G) le centre de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie de G(R).
On considère qu’il agit sur les espaces de fonctions sur G(R) via l’action par
translations à gauche de G(R), et qu’il agit sur les espaces de distributions par
dualité, c’est-à-dire par la formule (ZD)(f ) = D(Zf ) pour une distribution D,
une fonction f et un élément Z ∈ Z(G). Comme on sait, Z(G) est isomorphe à
Sym(h)
W , ou encore à l’algèbre des polynômes invariants par W sur h
∗ . Notons
h Z la partie centrale de h, c’est-à-dire h Z = X ∗ (Z(G)
0 ) ⊗ Z C. On a dualement
un sous-espace h
∗
Z ⊂ h
∗ . Au caractère ω est associé un caractère infinitésimal de
Z(G), qui est l’évaluation en un point μ(ω) ∈ h
∗
Z . L’hypothèse que ω est trivial
sur la composante neutre de Z(G; R)
θ pour la topologie réelle implique que μ(ω)
appartient au sous-espace (1 − θ)(h
∗
Z ). Il existe un unique point ˜
μ(ω) dans ce sousespace tel que μ(ω) = (θ
−1
− 1)(˜ μ(ω)). Considérons l’espace affine ˜
μ(ω) + h
θ,∗ . Il
est invariant par l’action de W
θ . Notons P ol(˜ μ(ω) + h
θ,∗ ) l’algèbre des polynômes
sur cet espace affine. Par restriction, tout élément de Z(G) définit un élément de
P ol(˜ μ(ω) + h
θ,∗ )
W
θ . On a
(1) l’application Z(G) → P ol(˜ μ(ω) + h
θ,∗ )
W
θ est un homomorphisme d’algèbres
surjectif.
Preuve. Parce que ˜
μ(ω) est central, il existe un unique automorphisme ι
de Z(G)
qui, à un élément X ∈ h ⊂ Z(G), associe l’élément X + X, ˜
μ(ω). Pour des
éléments Z ∈ Z(G) et λ ∈ h
θ,∗ , évaluer Z en ˜
μ(ω) + λ revient à évaluer ι
(Z) en λ.
Cela ramène l’assertion au cas où ˜
μ(ω) = 0. C’est alors le théorème 5 de [33].
Soit (π, ˜
π) une ω-représentation, supposons π irréductible. A π est associé
son caractère infinitésimal, qui est paramétré par une orbite dans h
∗ pour l’action
de W . On note μ(π) ou μ(˜ π) cette orbite. Parce que π se prolonge en une ωreprésentation, on a l’égalité μ(π) + μ(ω) = θ
−1 (μ(π)). L’ensemble μ(π) − ˜
μ(ω) est
alors une W -orbite qui est invariante par θ. On vérifie que l’intersection d’une telle
orbite avec h
θ,∗ est non vide et est une seule orbite sous l’action de W
θ . Autrement
dit, l’ensemble
(˜ μ(ω) + h
θ,∗ ) ∩ μ(˜ π).
est une unique orbite sous l’action de W
θ dans l’espace affine ˜
μ(ω) + h
θ,∗ .
Si (π, ˜
π) est une ω-représentation de longueur finie et si toutes les composantes irréductibles de π ont un même paramètre μ, on pose μ(˜ π) = μ. Plus
généralement, on dira qu’un élément de D spec ( ˜
G(R), ω) est de paramètre μ si, modulo le choix d’une mesure de Haar, c’est une combinaison linéaire de caractères de
représentations irréductibles ˜
π dont le paramètre est μ. On note D spec,μ ( ˜
G(R), ω)
le sous-espace des éléments de paramètre μ.
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Pour λ ∈ A
∗
˜
G,C
et pour une ω-représentation (π, ˜
π), on définit (π λ , ˜
π λ ) par
π λ (g) = e λ,H ˜
G (g)횿 π(g) et ˜
π λ (γ) = e λ,H ˜
G (γ)횿 ˜
π(γ). L’action ainsi obtenue de A
∗
˜
G,C
sur l’ensemble des ω-représentations (à isomorphisme près) est libre.
Notons Z(G) le centre de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie de G(R).
On considère qu’il agit sur les espaces de fonctions sur G(R) via l’action par
translations à gauche de G(R), et qu’il agit sur les espaces de distributions par
dualité, c’est-à-dire par la formule (ZD)(f ) = D(Zf ) pour une distribution D,
une fonction f et un élément Z ∈ Z(G). Comme on sait, Z(G) est isomorphe à
Sym(h)
W , ou encore à l’algèbre des polynômes invariants par W sur h
∗ . Notons
h Z la partie centrale de h, c’est-à-dire h Z = X ∗ (Z(G)
0 ) ⊗ Z C. On a dualement
un sous-espace h
∗
Z ⊂ h
∗ . Au caractère ω est associé un caractère infinitésimal de
Z(G), qui est l’évaluation en un point μ(ω) ∈ h
∗
Z . L’hypothèse que ω est trivial
sur la composante neutre de Z(G; R)
θ pour la topologie réelle implique que μ(ω)
appartient au sous-espace (1 − θ)(h
∗
Z ). Il existe un unique point ˜
μ(ω) dans ce sousespace tel que μ(ω) = (θ
−1
− 1)(˜ μ(ω)). Considérons l’espace affine ˜
μ(ω) + h
θ,∗ . Il
est invariant par l’action de W
θ . Notons P ol(˜ μ(ω) + h
θ,∗ ) l’algèbre des polynômes
sur cet espace affine. Par restriction, tout élément de Z(G) définit un élément de
P ol(˜ μ(ω) + h
θ,∗ )
W
θ . On a
(1) l’application Z(G) → P ol(˜ μ(ω) + h
θ,∗ )
W
θ est un homomorphisme d’algèbres
surjectif.
Preuve. Parce que ˜
μ(ω) est central, il existe un unique automorphisme ι
de Z(G)
qui, à un élément X ∈ h ⊂ Z(G), associe l’élément X + X, ˜
μ(ω). Pour des
éléments Z ∈ Z(G) et λ ∈ h
θ,∗ , évaluer Z en ˜
μ(ω) + λ revient à évaluer ι
(Z) en λ.
Cela ramène l’assertion au cas où ˜
μ(ω) = 0. C’est alors le théorème 5 de [33].
Soit (π, ˜
π) une ω-représentation, supposons π irréductible. A π est associé
son caractère infinitésimal, qui est paramétré par une orbite dans h
∗ pour l’action
de W . On note μ(π) ou μ(˜ π) cette orbite. Parce que π se prolonge en une ωreprésentation, on a l’égalité μ(π) + μ(ω) = θ
−1 (μ(π)). L’ensemble μ(π) − ˜
μ(ω) est
alors une W -orbite qui est invariante par θ. On vérifie que l’intersection d’une telle
orbite avec h
θ,∗ est non vide et est une seule orbite sous l’action de W
θ . Autrement
dit, l’ensemble
(˜ μ(ω) + h
θ,∗ ) ∩ μ(˜ π).
est une unique orbite sous l’action de W
θ dans l’espace affine ˜
μ(ω) + h
θ,∗ .
Si (π, ˜
π) est une ω-représentation de longueur finie et si toutes les composantes irréductibles de π ont un même paramètre μ, on pose μ(˜ π) = μ. Plus
généralement, on dira qu’un élément de D spec ( ˜
G(R), ω) est de paramètre μ si, modulo le choix d’une mesure de Haar, c’est une combinaison linéaire de caractères de
représentations irréductibles ˜
π dont le paramètre est μ. On note D spec,μ ( ˜
G(R), ω)
le sous-espace des éléments de paramètre μ.