IV.1. Théorème de Paley–Wiener
427
On définit H ˜
M0 par les conditions du lemme. Plus généralement, pour tout
˜
M ∈ L( ˜
M 0 ), on définit H ˜
M : ˜
M (R) → A ˜
M comme l’unique application telle que
– H ˜
M (mγ) = H ˜
M (m) + H ˜
M (γ) pour tous m ∈ M (R) et γ ∈ ˜
M (R) ;
– la restriction de H ˜
M à ˜
M 0 (R) est la composée de H ˜
M0 et de la projection
A ˜
M0 → A ˜
M .
La théorie est vide si ω n’est pas trivial sur Z(G)
θ (R). Nous ne supposons
toutefois pas que ω est trivial sur ce groupe car l’inconvénient de cette hypothèse
est qu’elle ne se conserve pas si l’on remplace ˜
G par un espace de Levi ˜
M . Par
contre, nous supposerons que ω est trivial sur la composante neutre de Z(G)
θ (R)
pour la topologie réelle. Cette hypothèse se conserve si l’on remplace ˜
G par un
espace de Levi ˜
M .
IV.1.2 Rappels sur les ω-représentations
Rappelons qu’une ω-représentation (admissible) de ˜
G(R) est un couple (π, ˜
π), où
π est une représentation admissible de G(R) dans un espace complexe V et ˜
π est
une application de ˜
G(R) dans le groupe des automorphismes de V qui vérifie la
condition ˜
π(gγg
) = π(g)˜ π(γ)π(g
)ω(g
) pour tous g, g
∈ G(R) et γ ∈ ˜
G(R). On
supposera toujours π de longueur finie. En pratique, on notera simplement ˜
π la
ω-représentation, la représentation π de G(R) étant sous-entendue.
A une telle ω-représentation est associé son caractère, qui est une forme
linéaire sur C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), que l’on note
f → I
˜
G (˜ π, f ).
Précisément, pour une fonction f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et une mesure de Haar dg sur
G(R), on définit l’opérateur ˜
π(f ⊗ dg) =
˜
G(R)
˜
π(γ)f (γ) dγ (la mesure dγ étant
naturellement associée à dg) ; alors
I
˜
G (˜ π, f ⊗ dg) = trace(˜ π(f ⊗ dg)).
Cette distribution est continue quand on munit C
∞
c ( ˜
G(R)) de sa topologie usuelle.
Elle se factorise en une forme linéaire continue sur I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)).
Ici, I( ˜
G(R), ω) désigne l’espace des ω-intégrales orbitales sur ˜
G(R). Il est muni
d’après Bouaziz d’une topologie (cf. [I] 5.2) pour laquelle l’application naturelle
C
∞
c ( ˜
G(R)) → I( ˜
G(R), ω) est continue et ouverte ([69] théorème 9.4). On note
D spec ( ˜
G(R), ω) l’espace engendré par les distributions I
˜
G (˜ π, .), quand ˜
π décrit les
ω-représentations de longueur finie, tensorisé par Mes(G(R)). Ainsi, ces distributions appartiennent à D spec ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R))
∗ . On note D temp ( ˜
G(R), ω) le
sous-espace de D spec ( ˜
G(R), ω) qui, après tensorisation par Mes(G(R))
∗ , est engendré par les caractères de représentations tempérées.
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On définit H ˜
M0 par les conditions du lemme. Plus généralement, pour tout
˜
M ∈ L( ˜
M 0 ), on définit H ˜
M : ˜
M (R) → A ˜
M comme l’unique application telle que
– H ˜
M (mγ) = H ˜
M (m) + H ˜
M (γ) pour tous m ∈ M (R) et γ ∈ ˜
M (R) ;
– la restriction de H ˜
M à ˜
M 0 (R) est la composée de H ˜
M0 et de la projection
A ˜
M0 → A ˜
M .
La théorie est vide si ω n’est pas trivial sur Z(G)
θ (R). Nous ne supposons
toutefois pas que ω est trivial sur ce groupe car l’inconvénient de cette hypothèse
est qu’elle ne se conserve pas si l’on remplace ˜
G par un espace de Levi ˜
M . Par
contre, nous supposerons que ω est trivial sur la composante neutre de Z(G)
θ (R)
pour la topologie réelle. Cette hypothèse se conserve si l’on remplace ˜
G par un
espace de Levi ˜
M .
IV.1.2 Rappels sur les ω-représentations
Rappelons qu’une ω-représentation (admissible) de ˜
G(R) est un couple (π, ˜
π), où
π est une représentation admissible de G(R) dans un espace complexe V et ˜
π est
une application de ˜
G(R) dans le groupe des automorphismes de V qui vérifie la
condition ˜
π(gγg
) = π(g)˜ π(γ)π(g
)ω(g
) pour tous g, g
∈ G(R) et γ ∈ ˜
G(R). On
supposera toujours π de longueur finie. En pratique, on notera simplement ˜
π la
ω-représentation, la représentation π de G(R) étant sous-entendue.
A une telle ω-représentation est associé son caractère, qui est une forme
linéaire sur C
∞
c ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R)), que l’on note
f → I
˜
G (˜ π, f ).
Précisément, pour une fonction f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) et une mesure de Haar dg sur
G(R), on définit l’opérateur ˜
π(f ⊗ dg) =
˜
G(R)
˜
π(γ)f (γ) dγ (la mesure dγ étant
naturellement associée à dg) ; alors
I
˜
G (˜ π, f ⊗ dg) = trace(˜ π(f ⊗ dg)).
Cette distribution est continue quand on munit C
∞
c ( ˜
G(R)) de sa topologie usuelle.
Elle se factorise en une forme linéaire continue sur I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)).
Ici, I( ˜
G(R), ω) désigne l’espace des ω-intégrales orbitales sur ˜
G(R). Il est muni
d’après Bouaziz d’une topologie (cf. [I] 5.2) pour laquelle l’application naturelle
C
∞
c ( ˜
G(R)) → I( ˜
G(R), ω) est continue et ouverte ([69] théorème 9.4). On note
D spec ( ˜
G(R), ω) l’espace engendré par les distributions I
˜
G (˜ π, .), quand ˜
π décrit les
ω-représentations de longueur finie, tensorisé par Mes(G(R)). Ainsi, ces distributions appartiennent à D spec ( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R))
∗ . On note D temp ( ˜
G(R), ω) le
sous-espace de D spec ( ˜
G(R), ω) qui, après tensorisation par Mes(G(R))
∗ , est engendré par les caractères de représentations tempérées.