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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
Preuve. Notons X
∗ (M 0 ) le groupe des caractères algébriques de M 0 . Il est muni
d’une action de Γ R et d’une action de θ. Le groupe X
∗ (M 0 )
Γ R ,θ s’identifie naturellement à un réseau de A
∗
˜
M0
. Remarquons que l’application H ˜
M0 : M 0 (R) → A ˜
M0 se
prolonge naturellement à M 0 (C) : pour x ∈ M 0 (C), H ˜
M0 (x) est l’unique élément de
A ˜
M0 tel que, pour tout χ ∈ X
∗ (M 0 )
Γ R ,θ , on ait l’égalité
χ, H ˜
M0 (x)
= log(|χ(x)|).
Pour α ∈ Σ(A ˜
M0 ), l’application χ α : x → det((ad x ) |uα ) est un élément de
X
∗ (M 0 )
Γ R ,θ . Sa restriction à A ˜
M0 (C) est dim(u α )α (en notation additive). Il en
résulte que, pour tout x ∈ M 0 (C), on a l’égalité
(1)
α, H ˜
M0 (x)
=
log(| det((ad x ) |uα )|)
dim(u α )
.
Montrons maintenant que :
(2) il existe une application H ˜
M0 : ˜
M 0 (R) → A ˜
M0 vérifiant la condition (d).
Fixons une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G pour laquelle
˜
M 0 est standard. Fixons e ∈ Z( ˜
G, E). Pour γ ∈ ˜
M 0 (R), fixons un élément t γ ∈
T (C) tel que la partie semi-simple de γ soit conjuguée à t γ e par un élément de
M 0 (C). Pour α ∈ Σ(A ˜
M0 ), l’espace vectoriel complexe u α possède une base B telle
que ad e conserve ±B. On en déduit que
log(| det((ad γ ) |uα )|)
dim(u α )
=
log(| det((ad tγ ) |uα )|)
dim(u α )
.
D’après (1), ceci est égal à
α, H ˜
M0 (t γ )
. L’application γ → H ˜
M0 (γ) = H ˜
M0 (t γ )
vérifie donc (d), ce qui prouve (2).
Partant d’une application H ˜
M0 : ˜
M 0 (R) → A ˜
M0 vérifiant (d), on peut lui
ajouter une application à valeurs dans A ˜
G de sorte que (b) soit vérifiée. L’application obtenue est clairement unique. Soient x ∈ M 0 (R) et γ ∈ ˜
M 0 (R). En utilisant
(d) et (1), on voit que l’on a l’égalité
α, H ˜
M0 (xγ)
=
α, H ˜
M0 (x)
+
α, H ˜
M0 (γ)
pour tout α ∈ Σ(A ˜
M0 ). En tenant compte de (b), on obtient H ˜
M0 (xγ) = H ˜
M0 (x)+
H ˜
M0 (γ), autrement dit (a) est vérifiée. Cela prouve le (ii) de l’énoncé.
En remplaçant γ par ad n (γ) dans la formule (d), où n est un élément de
Norm G(R) ( ˜
M 0 ), un calcul simple montre que l’application H ˜
M0 que l’on vient de
construire vérifie aussi (c). Cette application vérifie donc les conditions du (i) de
l’énoncé. Il reste à montrer que l’application est uniquement déterminée par ces
dernières conditions. Si une application H
˜
M0
vérifie les conditions (a), (b) et (c),
la condition (a) entraîne qu’il existe H ∈ A ˜
M0 tel que H
˜
M0
(γ) = H + H ˜
M0 (γ)
pour tout γ ∈ ˜
M 0 (R). La condition (c) entraîne que H est invariant par W ( ˜
M 0 ),
donc appartient à A ˜
G . La condition (b) entraîne alors que H = 0. Cela achève de
prouver le lemme.