IV.1. Théorème de Paley–Wiener
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que l’on note encore θ. Remarquons que a M0 (R) s’identifie à A M0 . Pour tout Levi
M de G contenant M 0 , A M est un sous-espace de A M0 et on munit cet espace de
la restriction de la forme quadratique. Plus généralement, pour tout Levi M , on
peut choisir g ∈ G(R) tel que g
−1 M g contienne M 0 et on munit A M de la forme
quadratique sur A g −1 Mg transportée par l’isomorphisme ad g . Cela ne dépend pas
du choix de g. On munit tout sous-espace de A M de la mesure de Haar associée à
la restriction à ce sous-espace de cette forme quadratique.
On étend toutes ces formes quadratiques en des formes hermitiennes sur les
complexifiés de nos espaces. Pour tout espace vectoriel V sur R, on note V C =
V ⊗ R C son complexifié. On fait une exception pour l’espace h R dont on note
simplement h le complexifié.
On note A G , resp. A ˜
G , la composante neutre pour la topologie réelle de
A G (R), resp. A ˜
G (R). On sait que la restriction à A G de l’application H G : G(R) →
A G est un isomorphisme. On munit A G , resp A ˜
G , de la mesure de Haar déduite
par cet isomorphisme de celle fixée sur A G , resp. A ˜
G .
L’homomorphisme H ˜
G : G(R) → A ˜
G est le composé de H G et de la projection
A G → A ˜
G sur les invariants par θ. On fixe arbitrairement une application encore
notée H ˜
G : ˜
G(R) → A ˜
G telle que H ˜
G (gγ) = H ˜
G (g) + H ˜
G (γ) pour tous g ∈ G(R)
et γ ∈ ˜
G(R). Notons ˜
G(R)
1 l’ensemble des γ ∈ ˜
G(R) tels que H ˜
G (γ) = 0. On a
des isomorphismes inverses l’un de l’autre
˜
G(R) →
A ˜
G × ˜
G(R)
1
A ˜
G × ˜
G(R)
1
→ ˜
G(R)
γ
→ (H ˜
G (γ), exp(−H ˜
G (γ))γ)
( H, γ
1 )
→ e
H γ
1
On note Σ(A ˜
M0 ) l’ensemble des racines de A ˜
M0 dans g. Pour une telle racine
α, on note u α le sous-espace radiciel associé. Pour γ ∈ ˜
M 0 (R), ad γ conserve ce
sous-espace. Posons W ( ˜
M 0 ) = Norm G(R) ( ˜
M 0 )/M 0 (R).
Lemme.
(i) Il existe une unique application H ˜
M0 : ˜
M 0 (R) → A ˜
M0 vérifiant les trois
conditions
(a) H ˜
M0 (mγ) = H ˜
M0 (m) + H ˜
M0 (γ) pour tous m ∈ M 0 (R) et γ ∈ ˜
M 0 (R) ;
(b) la composée de H ˜
M0 et de la projection A ˜
M0 → A ˜
G est la restriction de
H ˜
G à ˜
M 0 (R) ;
(c) H ˜
M0 (ad n (γ)) = w(H ˜
M0 (γ)), pour tous γ ∈ ˜
M 0 (R), n ∈ Norm G(R) ( ˜
M 0 ),
où w est l’image de n dans W ( ˜
M 0 ).
(ii) Cette application est aussi l’unique application H ˜
M0 : ˜
M 0 (R) → A ˜
M0 vérifiant les trois conditions (a), (b) et
(d) pour toute α ∈ Σ(A ˜
M0 ) et tout γ ∈ ˜
M 0 (R), on a l’égalité
α, H ˜
M0 (γ)
=
log(| det((ad γ ) |uα )|)
dim(u α )
.
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que l’on note encore θ. Remarquons que a M0 (R) s’identifie à A M0 . Pour tout Levi
M de G contenant M 0 , A M est un sous-espace de A M0 et on munit cet espace de
la restriction de la forme quadratique. Plus généralement, pour tout Levi M , on
peut choisir g ∈ G(R) tel que g
−1 M g contienne M 0 et on munit A M de la forme
quadratique sur A g −1 Mg transportée par l’isomorphisme ad g . Cela ne dépend pas
du choix de g. On munit tout sous-espace de A M de la mesure de Haar associée à
la restriction à ce sous-espace de cette forme quadratique.
On étend toutes ces formes quadratiques en des formes hermitiennes sur les
complexifiés de nos espaces. Pour tout espace vectoriel V sur R, on note V C =
V ⊗ R C son complexifié. On fait une exception pour l’espace h R dont on note
simplement h le complexifié.
On note A G , resp. A ˜
G , la composante neutre pour la topologie réelle de
A G (R), resp. A ˜
G (R). On sait que la restriction à A G de l’application H G : G(R) →
A G est un isomorphisme. On munit A G , resp A ˜
G , de la mesure de Haar déduite
par cet isomorphisme de celle fixée sur A G , resp. A ˜
G .
L’homomorphisme H ˜
G : G(R) → A ˜
G est le composé de H G et de la projection
A G → A ˜
G sur les invariants par θ. On fixe arbitrairement une application encore
notée H ˜
G : ˜
G(R) → A ˜
G telle que H ˜
G (gγ) = H ˜
G (g) + H ˜
G (γ) pour tous g ∈ G(R)
et γ ∈ ˜
G(R). Notons ˜
G(R)
1 l’ensemble des γ ∈ ˜
G(R) tels que H ˜
G (γ) = 0. On a
des isomorphismes inverses l’un de l’autre
˜
G(R) →
A ˜
G × ˜
G(R)
1
A ˜
G × ˜
G(R)
1
→ ˜
G(R)
γ
→ (H ˜
G (γ), exp(−H ˜
G (γ))γ)
( H, γ
1 )
→ e
H γ
1
On note Σ(A ˜
M0 ) l’ensemble des racines de A ˜
M0 dans g. Pour une telle racine
α, on note u α le sous-espace radiciel associé. Pour γ ∈ ˜
M 0 (R), ad γ conserve ce
sous-espace. Posons W ( ˜
M 0 ) = Norm G(R) ( ˜
M 0 )/M 0 (R).
Lemme.
(i) Il existe une unique application H ˜
M0 : ˜
M 0 (R) → A ˜
M0 vérifiant les trois
conditions
(a) H ˜
M0 (mγ) = H ˜
M0 (m) + H ˜
M0 (γ) pour tous m ∈ M 0 (R) et γ ∈ ˜
M 0 (R) ;
(b) la composée de H ˜
M0 et de la projection A ˜
M0 → A ˜
G est la restriction de
H ˜
G à ˜
M 0 (R) ;
(c) H ˜
M0 (ad n (γ)) = w(H ˜
M0 (γ)), pour tous γ ∈ ˜
M 0 (R), n ∈ Norm G(R) ( ˜
M 0 ),
où w est l’image de n dans W ( ˜
M 0 ).
(ii) Cette application est aussi l’unique application H ˜
M0 : ˜
M 0 (R) → A ˜
M0 vérifiant les trois conditions (a), (b) et
(d) pour toute α ∈ Σ(A ˜
M0 ) et tout γ ∈ ˜
M 0 (R), on a l’égalité
α, H ˜
M0 (γ)
=
log(| det((ad γ ) |uα )|)
dim(u α )
.