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Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
à support compact et sur le résultat suivant : une combinaison linéaire finie de
caractères de représentations tempérées de ˜
G(R) est supertempérée si et seulement si toutes les représentations qui interviennent sont elliptiques. Dans le cas
non tordu, ce résultat est dû à Harish-Chandra. Il vaut aussi d’après Herb sur un
corps de base non-archimédien. Il est généralisé dans le chapitre XI, que le corps
de base soit réel ou non-archimédien.
IV.1 Le théorème de Paley–Wiener pour
les fonctions C
∞ à support compact
IV.1.1 La situation
Dans ce chapitre, le corps de base est R. On considère un triplet (G, ˜
G, a), où G
est un groupe réductif connexe défini sur R, ˜
G est un espace tordu sur G et a est
un élément de H
1 (W R ; Z( ˆ
G)), cf. [I] 1.1 et 1.5. Le terme a détermine un caractère
ω de G(R). On suppose
• ˜
G(R) = ∅ ;
• l’automorphisme θ de Z(G) est d’ordre fini ;
• ω est unitaire.
On fixe un espace de Levi minimal ˜
M 0 de ˜
G et un sous-groupe compact
maximal K de G(R). On suppose que les algèbres de Lie k de K et a M0 de A M0
sont orthogonales pour la forme de Killing. Introduisons la paire de Borel (B
∗ , T
∗ )
de G. On pose h R = X ∗ (T
∗ )⊗R et h = h R ⊗C. Soit ˜
S un sous-tore tordu maximal de
G défini sur R. Le groupe Γ R {±1} agit sur X ∗ (S) et sur X ∗,Q (S) = X ∗ (S)⊗ Z Q.
De cette action se déduit une décomposition
X ∗,Q (S) = X ∗,Q (S)
+
⊕ X ∗,Q (S)
−
où Γ R agit trivialement sur le premier sous-espace et par le caractère non trivial sur
le second. On en déduit une décomposition de l’algèbre de Lie s(R) = (X ∗ (S) ⊗ Z
C)
Γ R en somme directe
s(R) = X ∗,Q (S)
+
⊗ Q R ⊕ X ∗,Q (S)
−
⊗ Q iR.
Modulo le choix d’un groupe de Borel contenant S et stable par ˜
S, on peut identifier s à h. Le premier facteur ci-dessus s’identifie à un sous-espace de h R et le
second s’identifie à un sous-espace de ih R . Si on prend pour ˜
S un sous-tore tordu
maximal de ˜
M 0 , le premier facteur n’est autre que a ˜
M0 (R), qui s’identifie ainsi à
un sous-espace de h R .
Le groupe Γ R agit sur T
∗ donc aussi sur h R . On fixe sur h R une forme quadratique définie positive invariante par l’action du groupe de Weyl de G relatif à
T
∗ , par celle de Γ R et par l’automorphisme θ de T
∗ . Par dualité, on en déduit une
telle forme sur le dual h
∗
R . Il se déduit aussi de θ un automorphisme dual de h
∗
R
Chapitre IV. Transfert spectral archimédien
à support compact et sur le résultat suivant : une combinaison linéaire finie de
caractères de représentations tempérées de ˜
G(R) est supertempérée si et seulement si toutes les représentations qui interviennent sont elliptiques. Dans le cas
non tordu, ce résultat est dû à Harish-Chandra. Il vaut aussi d’après Herb sur un
corps de base non-archimédien. Il est généralisé dans le chapitre XI, que le corps
de base soit réel ou non-archimédien.
IV.1 Le théorème de Paley–Wiener pour
les fonctions C
∞ à support compact
IV.1.1 La situation
Dans ce chapitre, le corps de base est R. On considère un triplet (G, ˜
G, a), où G
est un groupe réductif connexe défini sur R, ˜
G est un espace tordu sur G et a est
un élément de H
1 (W R ; Z( ˆ
G)), cf. [I] 1.1 et 1.5. Le terme a détermine un caractère
ω de G(R). On suppose
• ˜
G(R) = ∅ ;
• l’automorphisme θ de Z(G) est d’ordre fini ;
• ω est unitaire.
On fixe un espace de Levi minimal ˜
M 0 de ˜
G et un sous-groupe compact
maximal K de G(R). On suppose que les algèbres de Lie k de K et a M0 de A M0
sont orthogonales pour la forme de Killing. Introduisons la paire de Borel (B
∗ , T
∗ )
de G. On pose h R = X ∗ (T
∗ )⊗R et h = h R ⊗C. Soit ˜
S un sous-tore tordu maximal de
G défini sur R. Le groupe Γ R {±1} agit sur X ∗ (S) et sur X ∗,Q (S) = X ∗ (S)⊗ Z Q.
De cette action se déduit une décomposition
X ∗,Q (S) = X ∗,Q (S)
+
⊕ X ∗,Q (S)
−
où Γ R agit trivialement sur le premier sous-espace et par le caractère non trivial sur
le second. On en déduit une décomposition de l’algèbre de Lie s(R) = (X ∗ (S) ⊗ Z
C)
Γ R en somme directe
s(R) = X ∗,Q (S)
+
⊗ Q R ⊕ X ∗,Q (S)
−
⊗ Q iR.
Modulo le choix d’un groupe de Borel contenant S et stable par ˜
S, on peut identifier s à h. Le premier facteur ci-dessus s’identifie à un sous-espace de h R et le
second s’identifie à un sous-espace de ih R . Si on prend pour ˜
S un sous-tore tordu
maximal de ˜
M 0 , le premier facteur n’est autre que a ˜
M0 (R), qui s’identifie ainsi à
un sous-espace de h R .
Le groupe Γ R agit sur T
∗ donc aussi sur h R . On fixe sur h R une forme quadratique définie positive invariante par l’action du groupe de Weyl de G relatif à
T
∗ , par celle de Γ R et par l’automorphisme θ de T
∗ . Par dualité, on en déduit une
telle forme sur le dual h
∗
R . Il se déduit aussi de θ un automorphisme dual de h
∗
R