Chapitre IV
Transfert spectral archimédien
Introduction
Ce chapitre concerne exclusivement les groupes réels. La première section énonce
un théorème de Paley–Wiener pour les fonctions C
∞ à support compact. Ce théorème est dû à Renard mais on en modifie quelque peu la formulation pour y faire
apparaître les représentations elliptiques qui, depuis le travail qu’Arthur leur a
consacré, sont devenus les blocs de base de ce type d’analyse harmonique. Dans
les sections 2 et 3, on prouve les analogues dans le cas tordu, et sur le corps de base
R, des résultats contenus dans l’article [13] d’Arthur. A savoir les deux résultats
suivants, exprimés ici de façon lapidaire. On considère un triplet (G, ˜
G, a), où G
est un groupe réductif connexe défini sur R, ˜
G est un espace tordu sur G et a
est un élément de H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) Supposons d’abord G quasi-déployé, ˜
G à torsion
intérieure et a = 1. Alors une combinaison linéaire finie de caractères de représentations elliptiques de ˜
G(R) qui est stable sur les éléments réguliers elliptiques est
stable partout. Dans le cas général, soit G
une donnée endoscopique elliptique
de (G, ˜
G, a). Considérons une combinaison linéaire finie Σ de caractères de représentations elliptiques de ˜
G
(R) et une combinaison linéaire finie Π de caractères
de ω-représentations elliptiques de ˜
G(R). Supposons que Σ est stable et que la
restriction de Π aux éléments réguliers elliptiques de ˜
G(R) est égale à la même
restriction du transfert de Σ. Alors Π est le transfert de Σ. On a négligé ici comme
dans la suite de cette introduction le fait qu’en général, il faut remplacer ˜
G
(R)
par un espace auxiliaire ˜
G
1 (R). Une première conséquence de ces résultats est une
version «stable» du théorème de Paley–Wiener (théorème 2.3(ii)). Une deuxième
est la définition du transfert spectral (corollaire 3.3). Une troisième conséquence
est l’existence du transfert géométrique K-fini : si f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) est K-finie, il
existe une fonction f
∈ C
∞
c ( ˜
G
(R)) qui est K
-finie et qui est un transfert de f ,
cf. corollaire 3.4. Tout cela est certainement conséquence des résultats beaucoup
plus fins obtenus par Mezo dans son article récent [61]. Nos preuves sont très différentes. Elles s’appuient sur le théorème de Renard repris dans la première section,
sur le résultat de Shelstad affirmant l’existence du transfert entre fonctions C
∞
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _4
Progress in Mathematics 316, DOI
423
© Springer International Publishing Switzerland 2016
Transfert spectral archimédien
Introduction
Ce chapitre concerne exclusivement les groupes réels. La première section énonce
un théorème de Paley–Wiener pour les fonctions C
∞ à support compact. Ce théorème est dû à Renard mais on en modifie quelque peu la formulation pour y faire
apparaître les représentations elliptiques qui, depuis le travail qu’Arthur leur a
consacré, sont devenus les blocs de base de ce type d’analyse harmonique. Dans
les sections 2 et 3, on prouve les analogues dans le cas tordu, et sur le corps de base
R, des résultats contenus dans l’article [13] d’Arthur. A savoir les deux résultats
suivants, exprimés ici de façon lapidaire. On considère un triplet (G, ˜
G, a), où G
est un groupe réductif connexe défini sur R, ˜
G est un espace tordu sur G et a
est un élément de H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) Supposons d’abord G quasi-déployé, ˜
G à torsion
intérieure et a = 1. Alors une combinaison linéaire finie de caractères de représentations elliptiques de ˜
G(R) qui est stable sur les éléments réguliers elliptiques est
stable partout. Dans le cas général, soit G
une donnée endoscopique elliptique
de (G, ˜
G, a). Considérons une combinaison linéaire finie Σ de caractères de représentations elliptiques de ˜
G
(R) et une combinaison linéaire finie Π de caractères
de ω-représentations elliptiques de ˜
G(R). Supposons que Σ est stable et que la
restriction de Π aux éléments réguliers elliptiques de ˜
G(R) est égale à la même
restriction du transfert de Σ. Alors Π est le transfert de Σ. On a négligé ici comme
dans la suite de cette introduction le fait qu’en général, il faut remplacer ˜
G
(R)
par un espace auxiliaire ˜
G
1 (R). Une première conséquence de ces résultats est une
version «stable» du théorème de Paley–Wiener (théorème 2.3(ii)). Une deuxième
est la définition du transfert spectral (corollaire 3.3). Une troisième conséquence
est l’existence du transfert géométrique K-fini : si f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)) est K-finie, il
existe une fonction f
∈ C
∞
c ( ˜
G
(R)) qui est K
-finie et qui est un transfert de f ,
cf. corollaire 3.4. Tout cela est certainement conséquence des résultats beaucoup
plus fins obtenus par Mezo dans son article récent [61]. Nos preuves sont très différentes. Elles s’appuient sur le théorème de Renard repris dans la première section,
sur le résultat de Shelstad affirmant l’existence du transfert entre fonctions C
∞
C. M oeglin, J-L. Waldspurger, Stabilisation de la formule des traces tordue,
10.1007/978-3-319-30049-8 _4
Progress in Mathematics 316, DOI
423
© Springer International Publishing Switzerland 2016