III.8. Descente des germes de Shalika endoscopiques
421
La deuxième application est injective car M η est un Levi de G η . Donc ξ appartient
au noyau de la première application. On peut donc trouver m ∈ M η tel que
ξ(σ) = mσ(m)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . Posons v = mz. Alors v ∈ I
M
η[y] . On a
u = gm
−1 v et les relations ξ(σ) = mσ(m)
−1 = gσ(g)
−1 entraînent que gm
−1
appartient à G η (F ). Donc l’image de u dans G η (F )\I η (F ) est égale à celle de v,
ce qui démontre la surjectivité cherchée et (2).
Donc transfert(δ) = τ et la formule (1) devient
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ) = g
˜
G
˜
M,O
(transfert(δ)).
Cela prouve la proposition 8.1.
III.8.5 Egalité de germes et de germes endoscopiques
On considère un triplet quelconque (G, ˜
G, a), un espace de Levi ˜
M et une classe
de conjugaison stable semi-simple O ⊂ ˜
M (F ).
Il y un cas particulier que nous devons exclure. C’est celui où (G, ˜
G, a) est
l’un des triplets définis en 6.2 et où O est la classe de conjugaison stable d’un
élément η ∈ ˜
M (F ) qui conserve une paire de Borel épinglée de G définie sur F .
Proposition. On suppose que l’on n’est pas dans le cas particulier ci-dessus. Soit
γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω)⊗Mes(M (F ))
∗ . On suppose que les éléments du support
de γ sont ˜
G-équisinguliers et proches de O. Alors on a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
(γ) = g
˜
G,E
˜
M,O
(γ).
Preuve. Par linéarité, on peut fixer une donnée endoscopique M
= (M
, M
, ˜
ζ)
de (M, ˜
M, a), elliptique et relevante, et un élément δ ∈ D
st
g´ eom (M
)⊗Mes(M
(F ))
∗
de sorte que γ = transfert(δ). On peut aussi fixer une classe de conjugaison stable
semi-simple dans ˜
M
(F ) se transférant sur O et supposer δ proche de O
. Soit
∈ O
. Supposons d’abord A M
= A M . Alors, comme dans la preuve de 7.4,
les deux membres de l’énoncé sont calculés par des formules de descente, à savoir
celles des propositions [II] 2.11 et [II] 2.12. Par récurrence, on en déduit l’égalité
de l’énoncé. Supposons A M
= A M . D’après nos hypothèses de récurrence et le
lemme 6.2, l’hypothèse (1) de 8.1 est vérifiée sauf dans le cas particulier que l’on
a exclu. On peut donc appliquer la proposition 8.1 qui conclut.
III.8.6 Preuve de la proposition 4.4
On renvoie à 4.4 pour l’énoncé de cette proposition. Ici, le triplet (G, ˜
G, a) est
quasi-déployé et à torsion intérieure, muni d’un système de fonctions B. La preuve
de la proposition est similaire à celle de la proposition 7.3. On reprend la preuve
de 8.1 dans le cas M
= M que l’on avait exclu. Elle conduit à une égalité
g
˜
G,E
˜
M,O
(M, δ, B) = x + g
˜
G
˜
M,O
(transfert(δ), B),
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La deuxième application est injective car M η est un Levi de G η . Donc ξ appartient
au noyau de la première application. On peut donc trouver m ∈ M η tel que
ξ(σ) = mσ(m)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . Posons v = mz. Alors v ∈ I
M
η[y] . On a
u = gm
−1 v et les relations ξ(σ) = mσ(m)
−1 = gσ(g)
−1 entraînent que gm
−1
appartient à G η (F ). Donc l’image de u dans G η (F )\I η (F ) est égale à celle de v,
ce qui démontre la surjectivité cherchée et (2).
Donc transfert(δ) = τ et la formule (1) devient
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ) = g
˜
G
˜
M,O
(transfert(δ)).
Cela prouve la proposition 8.1.
III.8.5 Egalité de germes et de germes endoscopiques
On considère un triplet quelconque (G, ˜
G, a), un espace de Levi ˜
M et une classe
de conjugaison stable semi-simple O ⊂ ˜
M (F ).
Il y un cas particulier que nous devons exclure. C’est celui où (G, ˜
G, a) est
l’un des triplets définis en 6.2 et où O est la classe de conjugaison stable d’un
élément η ∈ ˜
M (F ) qui conserve une paire de Borel épinglée de G définie sur F .
Proposition. On suppose que l’on n’est pas dans le cas particulier ci-dessus. Soit
γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω)⊗Mes(M (F ))
∗ . On suppose que les éléments du support
de γ sont ˜
G-équisinguliers et proches de O. Alors on a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
(γ) = g
˜
G,E
˜
M,O
(γ).
Preuve. Par linéarité, on peut fixer une donnée endoscopique M
= (M
, M
, ˜
ζ)
de (M, ˜
M, a), elliptique et relevante, et un élément δ ∈ D
st
g´ eom (M
)⊗Mes(M
(F ))
∗
de sorte que γ = transfert(δ). On peut aussi fixer une classe de conjugaison stable
semi-simple dans ˜
M
(F ) se transférant sur O et supposer δ proche de O
. Soit
∈ O
. Supposons d’abord A M
= A M . Alors, comme dans la preuve de 7.4,
les deux membres de l’énoncé sont calculés par des formules de descente, à savoir
celles des propositions [II] 2.11 et [II] 2.12. Par récurrence, on en déduit l’égalité
de l’énoncé. Supposons A M
= A M . D’après nos hypothèses de récurrence et le
lemme 6.2, l’hypothèse (1) de 8.1 est vérifiée sauf dans le cas particulier que l’on
a exclu. On peut donc appliquer la proposition 8.1 qui conclut.
III.8.6 Preuve de la proposition 4.4
On renvoie à 4.4 pour l’énoncé de cette proposition. Ici, le triplet (G, ˜
G, a) est
quasi-déployé et à torsion intérieure, muni d’un système de fonctions B. La preuve
de la proposition est similaire à celle de la proposition 7.3. On reprend la preuve
de 8.1 dans le cas M
= M que l’on avait exclu. Elle conduit à une égalité
g
˜
G,E
˜
M,O
(M, δ, B) = x + g
˜
G
˜
M,O
(transfert(δ), B),