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Chapitre III. Réductions et preuves
En utilisant la proposition 3.4, on a
ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(g
G η[y],SC
M η[y],sc ,unip (δ[y] sc )) = g
G η[y]
M η[y] ,unip (δ[y]),
où
δ[y] = exp(Z 1 )ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
(δ[y] sc ).
On a identifié ici Z 1 à un élément de z(G η[y] ; F ). Enfin, on se rappelle que l’on a
supposé A Gη = A ˜
G , ce qui équivaut à A G η[y] = A ˜
G puisque G η[y] est une forme
intérieure de G η . D’après la proposition 4.2, on a donc
desc
˜
G,∗
η[y] (g
G η[y]
M η[y] ,unip (δ[y])) = g
˜
G
˜
M,O
(desc
˜
M,∗
η[y] (δ[y])).
La formule 8.1(3) devient
(1)
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ) = g
˜
G
˜
M,O
(τ ),
où
τ =
y∈ ˙
Y M
c[y] desc
˜
M,∗
η[y] (δ[y]).
A ce point, on peut lever l’hypothèse que A Gη = A ˜
G . Si elle n’est pas vérifiée, le
membre de gauche de (1) est nul d’après 8.2(4). Celui de droite l’est d’après la
proposition 4.2.
Il est facile de reprendre tous ces calculs en remplaçant l’espace ˜
G par ˜
M pour
calculer transfert(δ). C’est d’ailleurs le même calcul qu’en 7.1, aux translations
près par l’élément central Z qui est évidemmment inoffensif. On n’obtient pas
tout-à-fait l’égalité transfert(δ) = τ . Le remplacement de ˜
G par ˜
M conduit à
l’égalité
transfert(δ) =
y∈ ˙
Y M
c
M [y] desc
˜
M,∗
η[y] (δ[y]).
Mais on a
(2)
c
M [y] = c[y] pour tout y ∈ ˙
Y
M .
Pour simplifier la notation, on peut supposer y = 1. On doit prouver que l’application naturelle
M η (F )\I
M
η (F ) → G η (F )\I η (F )
est bijective. L’injectivité résulte de l’égalité G η ∩ M = M η (un élément de G η ∩
M commute à A ˜
M = A Mη donc appartient à M η ). Soit u ∈ I η (F ). On écrit
u = gz avec g ∈ G η et z ∈ Z(G)
θ . On définit un cocycle ξ sur Γ F par ξ(σ) =
z
−1 σ(z) = gσ(g)
−1 . Cette formule montre qu’il prend ses valeurs dans Z(G η ) et
qu’il est cohomologiquement trivial dans G η . C’est donc un élément du noyau de
H
1 (Γ F ; Z(G η )) → H
1 (Γ F ; G η ). Cette application se factorise en
H
1 (Γ F ; Z(G η )) → H
1 (Γ F ; M η ) → H
1 (Γ F ; G η ).
Chapitre III. Réductions et preuves
En utilisant la proposition 3.4, on a
ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(g
G η[y],SC
M η[y],sc ,unip (δ[y] sc )) = g
G η[y]
M η[y] ,unip (δ[y]),
où
δ[y] = exp(Z 1 )ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
(δ[y] sc ).
On a identifié ici Z 1 à un élément de z(G η[y] ; F ). Enfin, on se rappelle que l’on a
supposé A Gη = A ˜
G , ce qui équivaut à A G η[y] = A ˜
G puisque G η[y] est une forme
intérieure de G η . D’après la proposition 4.2, on a donc
desc
˜
G,∗
η[y] (g
G η[y]
M η[y] ,unip (δ[y])) = g
˜
G
˜
M,O
(desc
˜
M,∗
η[y] (δ[y])).
La formule 8.1(3) devient
(1)
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ) = g
˜
G
˜
M,O
(τ ),
où
τ =
y∈ ˙
Y M
c[y] desc
˜
M,∗
η[y] (δ[y]).
A ce point, on peut lever l’hypothèse que A Gη = A ˜
G . Si elle n’est pas vérifiée, le
membre de gauche de (1) est nul d’après 8.2(4). Celui de droite l’est d’après la
proposition 4.2.
Il est facile de reprendre tous ces calculs en remplaçant l’espace ˜
G par ˜
M pour
calculer transfert(δ). C’est d’ailleurs le même calcul qu’en 7.1, aux translations
près par l’élément central Z qui est évidemmment inoffensif. On n’obtient pas
tout-à-fait l’égalité transfert(δ) = τ . Le remplacement de ˜
G par ˜
M conduit à
l’égalité
transfert(δ) =
y∈ ˙
Y M
c
M [y] desc
˜
M,∗
η[y] (δ[y]).
Mais on a
(2)
c
M [y] = c[y] pour tout y ∈ ˙
Y
M .
Pour simplifier la notation, on peut supposer y = 1. On doit prouver que l’application naturelle
M η (F )\I
M
η (F ) → G η (F )\I η (F )
est bijective. L’injectivité résulte de l’égalité G η ∩ M = M η (un élément de G η ∩
M commute à A ˜
M = A Mη donc appartient à M η ). Soit u ∈ I η (F ). On écrit
u = gz avec g ∈ G η et z ∈ Z(G)
θ . On définit un cocycle ξ sur Γ F par ξ(σ) =
z
−1 σ(z) = gσ(g)
−1 . Cette formule montre qu’il prend ses valeurs dans Z(G η ) et
qu’il est cohomologiquement trivial dans G η . C’est donc un élément du noyau de
H
1 (Γ F ; Z(G η )) → H
1 (Γ F ; G η ). Cette application se factorise en
H
1 (Γ F ; Z(G η )) → H
1 (Γ F ; M η ) → H
1 (Γ F ; G η ).