III.8. Descente des germes de Shalika endoscopiques
419
Soit x ∈ Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF relevant un élément du noyau. Alors x ∈ Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF ,0 .
On a la même relation que 5.3(2) au niveau du groupe ˆ
G SC , c’est-à-dire que
l’homomorphisme
Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0
→ Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF ,0
est surjectif. On peut donc relever x en un élément z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 . Notons z
son image dans Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . L’image naturelle de z dans Z( ˆ ¯
M )
ΓF est égale à celle
de x. Or x appartient à Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF . Donc cette image appartient à Z( ˆ ¯
G)
ΓF . Par
définition de Z, cela entraîne que z ∈ Z.
Bien sûr, l’image de x dans Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0 est ¯
z sc . Cela démontre (7).
D’après (5) et (7), χ ne peut être constant que si le caractère de
Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0
défini par τ
ad annule le noyau de (6). On a un diagramme
H
1 (Γ F ; G η,ad ) × Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0
↑
↓
H
1 (Γ F ; M η,ad ) × Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF ,0
qui est compatible aux dualités. Alors τ ad annule le noyau de (6) si et seulement
s’il provient d’un élément de H
1 (Γ F ; M η,ad ). Rappelons qu’au départ, on avait
τ (σ) = σ(y sc )
−1 y sc pour tout σ ∈ Γ F . Puisque y sc ∈ yZ(G), on a simplement
τ ad (σ) = σ(y ad )
−1 y ad . D’où τ
ad (σ) = y ad σ(y ad )
−1 . Autrement dit, c’est le cocycle
provenant naturellement du torseur intérieur ad y −1 : G η → G η[y] . Si ce cocycle
provient d’un élément de H
1 (Γ F ; M η,ad ), alors le groupe de Levi M η de G η se
transfère à G η[y] . C’est interdit par notre hypothèse y ∈ ˙
Y
M et le lemme [I] 5.11.
Cela achève la preuve de (2) et de la proposition.
III.8.4 Fin de la preuve de la proposition 8.1
On normalise les facteurs Δ(¯ s, y) de sorte que la proposition précédente soit vérifiée. En utilisant cette proposition et la formule 8.2(3), on a ξ[y] = 0 si y ∈ ˙
Y
M .
Supposons y ∈ ˙
Y
M . Alors
ξ[y] =
¯
s∈Z( ˆ ¯
M
Γ F
ad
i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s))Sg
¯
G
(¯ s)
¯
M ,unip
( ¯
δ).
Par définition
transfert y (ξ[y]) = g
G η[y],SC ,E
M η[y],sc ,unip ( ¯
M
, ¯
δ).
ici, les groupes ne sont pas tordus. On peut utiliser le corollaire 1.5 : le terme
ci-dessus vaut g
G η[y],SC
M η[y],sc ,unip (δ[y] sc ), où
δ[y] sc = transfert y ( ¯
δ).
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Soit x ∈ Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF relevant un élément du noyau. Alors x ∈ Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF ,0 .
On a la même relation que 5.3(2) au niveau du groupe ˆ
G SC , c’est-à-dire que
l’homomorphisme
Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0
→ Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF ,0
est surjectif. On peut donc relever x en un élément z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 . Notons z
son image dans Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . L’image naturelle de z dans Z( ˆ ¯
M )
ΓF est égale à celle
de x. Or x appartient à Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF . Donc cette image appartient à Z( ˆ ¯
G)
ΓF . Par
définition de Z, cela entraîne que z ∈ Z.
Bien sûr, l’image de x dans Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0 est ¯
z sc . Cela démontre (7).
D’après (5) et (7), χ ne peut être constant que si le caractère de
Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0
défini par τ
ad annule le noyau de (6). On a un diagramme
H
1 (Γ F ; G η,ad ) × Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0
↑
↓
H
1 (Γ F ; M η,ad ) × Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF ,0
qui est compatible aux dualités. Alors τ ad annule le noyau de (6) si et seulement
s’il provient d’un élément de H
1 (Γ F ; M η,ad ). Rappelons qu’au départ, on avait
τ (σ) = σ(y sc )
−1 y sc pour tout σ ∈ Γ F . Puisque y sc ∈ yZ(G), on a simplement
τ ad (σ) = σ(y ad )
−1 y ad . D’où τ
ad (σ) = y ad σ(y ad )
−1 . Autrement dit, c’est le cocycle
provenant naturellement du torseur intérieur ad y −1 : G η → G η[y] . Si ce cocycle
provient d’un élément de H
1 (Γ F ; M η,ad ), alors le groupe de Levi M η de G η se
transfère à G η[y] . C’est interdit par notre hypothèse y ∈ ˙
Y
M et le lemme [I] 5.11.
Cela achève la preuve de (2) et de la proposition.
III.8.4 Fin de la preuve de la proposition 8.1
On normalise les facteurs Δ(¯ s, y) de sorte que la proposition précédente soit vérifiée. En utilisant cette proposition et la formule 8.2(3), on a ξ[y] = 0 si y ∈ ˙
Y
M .
Supposons y ∈ ˙
Y
M . Alors
ξ[y] =
¯
s∈Z( ˆ ¯
M
Γ F
ad
i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s))Sg
¯
G
(¯ s)
¯
M ,unip
( ¯
δ).
Par définition
transfert y (ξ[y]) = g
G η[y],SC ,E
M η[y],sc ,unip ( ¯
M
, ¯
δ).
ici, les groupes ne sont pas tordus. On peut utiliser le corollaire 1.5 : le terme
ci-dessus vaut g
G η[y],SC
M η[y],sc ,unip (δ[y] sc ), où
δ[y] sc = transfert y ( ¯
δ).