418
Chapitre III. Réductions et preuves
le produit étant celui sur
H
1 (Γ F ; R[y]
θ
ad ) × H
0 (W F ; ˆ
R[y] sc /(1 − ˆ
θ)( ˆ
R[y] sc )).
Transférons le tore R[y]
θ,0 de G η[y] en le tore R
θ,0 de G η . Cela remplace τ ad par
τ
ad défini par τ
ad (σ) = ad y (τ ad (σ)) pour tout σ ∈ Γ F . On note ˆ ¯
R le tore dual de
R
θ,0 . On peut considérer que c’est un sous-tore de ˆ ¯
G. On a une suite
G η → G η,ad → G η,AD ,
où G η,ad est l’image de G η dans G AD . On a une suite similaire pour les formes
quasi-déployées
¯
G → ¯
G ad → ¯
G AD
et une suite duale
ˆ ¯
G SC → ˆ ¯
G sc → ˆ ¯
G.
En notant ˆ ¯
R sc l’image réciproque de ˆ ¯
R dans ˆ ¯
G sc , le produit ci-dessus devient celui
sur
H
1 (Γ F ; R
θ
ad ) × H
0 (W F ; ˆ ¯
R sc ).
Puisque z ∈ Z, l’image de z dans ˆ ¯
R appartient à Z( ˆ ¯
G). Il en résulte que ¯
z sc ∈
Z( ˆ ¯
G sc ). On a une dualité sur
H
1 (Γ F ; G η,ad ) × Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0
qui est compatible au produit précédent. Pour simplifier, nous ne changerons pas
les notations : on a encore
(5)
χ(z) = χ(1) τ
ad , ¯
z sc ,
où cette fois, τ
ad est vu comme un élément du premier groupe ci-dessus et ¯
z sc
comme un élément du second. On a choisi le relèvement z sc mais la formule obtenue
montre que le membre de droite ci-dessus ne dépend pas de ce choix. Pour deux
éléments z, z
∈ Z, on peut choisir z sc z
sc comme relèvement de zz
. On voit alors
que, à la constante χ(1) près, χ(z) est la valeur en z d’un caractère de Z. Pour
obtenir la relation de nullité (2), il reste à prouver que ce caractère n’est pas trivial.
On a un homomorphisme
(6)
Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0
→ Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF ,0 ,
où ˆ ¯
M sc est ici l’image réciproque de ˆ ¯
M dans ˆ ¯
G sc . Montrons que
(7) tout élément du noyau de (6) est de la forme ¯
z sc pour un choix convenable
de z ∈ Z et de relèvement z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 .
Chapitre III. Réductions et preuves
le produit étant celui sur
H
1 (Γ F ; R[y]
θ
ad ) × H
0 (W F ; ˆ
R[y] sc /(1 − ˆ
θ)( ˆ
R[y] sc )).
Transférons le tore R[y]
θ,0 de G η[y] en le tore R
θ,0 de G η . Cela remplace τ ad par
τ
ad défini par τ
ad (σ) = ad y (τ ad (σ)) pour tout σ ∈ Γ F . On note ˆ ¯
R le tore dual de
R
θ,0 . On peut considérer que c’est un sous-tore de ˆ ¯
G. On a une suite
G η → G η,ad → G η,AD ,
où G η,ad est l’image de G η dans G AD . On a une suite similaire pour les formes
quasi-déployées
¯
G → ¯
G ad → ¯
G AD
et une suite duale
ˆ ¯
G SC → ˆ ¯
G sc → ˆ ¯
G.
En notant ˆ ¯
R sc l’image réciproque de ˆ ¯
R dans ˆ ¯
G sc , le produit ci-dessus devient celui
sur
H
1 (Γ F ; R
θ
ad ) × H
0 (W F ; ˆ ¯
R sc ).
Puisque z ∈ Z, l’image de z dans ˆ ¯
R appartient à Z( ˆ ¯
G). Il en résulte que ¯
z sc ∈
Z( ˆ ¯
G sc ). On a une dualité sur
H
1 (Γ F ; G η,ad ) × Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0
qui est compatible au produit précédent. Pour simplifier, nous ne changerons pas
les notations : on a encore
(5)
χ(z) = χ(1) τ
ad , ¯
z sc ,
où cette fois, τ
ad est vu comme un élément du premier groupe ci-dessus et ¯
z sc
comme un élément du second. On a choisi le relèvement z sc mais la formule obtenue
montre que le membre de droite ci-dessus ne dépend pas de ce choix. Pour deux
éléments z, z
∈ Z, on peut choisir z sc z
sc comme relèvement de zz
. On voit alors
que, à la constante χ(1) près, χ(z) est la valeur en z d’un caractère de Z. Pour
obtenir la relation de nullité (2), il reste à prouver que ce caractère n’est pas trivial.
On a un homomorphisme
(6)
Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
G sc )
ΓF ,0
→ Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF /Z( ˆ ¯
M sc )
ΓF ,0 ,
où ˆ ¯
M sc est ici l’image réciproque de ˆ ¯
M dans ˆ ¯
G sc . Montrons que
(7) tout élément du noyau de (6) est de la forme ¯
z sc pour un choix convenable
de z ∈ Z et de relèvement z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 .