III.8. Descente des germes de Shalika endoscopiques
417
à ˆ
T sc . Parce que ˆ
u z (w) ∈ ˆ
G
(z˜ s) sc , ce terme est fixe par ad zscssc ◦ ˆ
θ. La formule se
simplifie en
(1 − ˆ
θ)(Y (w)) = ˆ
u 1 (w)z sc s sc ˆ
θ(ˆ u 1 (w)
−1 )s
−1
sc z
−1
sc .
Pour la même raison que ci-dessus, ˆ
u 1 (w) est fixe par ad ssc ◦ ˆ
θ. On obtient
(1 − ˆ
θ)(Y (w)) = ˆ
u 1 (w)z sc ˆ
u 1 (w)
−1 z
−1
sc .
L’élément z sc appartient à Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 . A fortiori, w G (z sc ) = z sc . On a vu cidessus que g 1 (w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 m(w), donc g 1 (w) ∈ ˆ
M . Puisque z sc ∈ Z( ˆ
M sc ), ces deux
éléments commutent, d’où ad g1(w) w G (z sc ) = z sc , c’est-à-dire w G (˜ s) (z sc ) = z sc .
Mais alors
ad ˆ
u1(w) (z sc ) = w R (z sc ).
On obtient
(1 − ˆ
θ)(Y (w)) = w R (z sc )z
−1
sc ,
ce qui prouve que (Y , z
−1
sc ) est un cocycle. Cela démontre (4).
Il y a un homomorphisme naturel
H
1,0 (W F ; ˆ
R[y] sc / ˆ
R[y]
ˆ
θ
sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
R[y] sc ) → H
1,0 (W F ; ˆ
R[y]/ ˆ
R[y]
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
R[y] ad ).
Le cocycle (Y (1)
−1 Y (z), z ad ) est l’image par cet homomorphisme de (Y , z sc ). Notons τ ad l’image de τ dans R[y] ad . Puisque d ∈ Z(G), l’image de (τ, θ(d)
−1 d) dans
H
1,0 (Γ F ; R[y] ad
1−θ
→ (1 − θ)(R[y] ad )) par l’homomorphisme dual du précédent est
(τ ad , 1). Grâce à (3), on obtient
χ(z) = χ(1) (τ ad , 1), (Y , z sc ) .
Rappelons que R[y]
θ
ad est connexe. Le fait que (τ ad , 1) soit un cocycle implique
que τ ad prend ses valeurs dans ce tore. On a un homomorphisme naturel
H
1,0 (Γ F ; R[y]
θ
ad → {1}) → H
1,0 (Γ F ; R[y] ad
1−θ
→ (1 − θ)(R[y] ad ))
et (τ ad , 1) est l’image du même cocycle, vu comme un élément du premier groupe.
L’image de (Y , z
−1
sc ) dans H
1,0 (W F ; {1} → ˆ
R[y] sc /(1 − ˆ
θ)( ˆ
R[y] sc )) par l’homomorphisme dual du précédent est (1, ¯
z sc ), où ¯
z sc est l’image de z sc dans ˆ
R[y] sc /(1 −
ˆ
θ)( ˆ
R[y] sc ). D’où
χ(z) = χ(1) (τ ad , 1), (1, ¯
z sc ) ,
le produit étant celui sur
H
1,0 (Γ F ; R[y]
θ
ad → {1}) × H
1,0 (W F ; {1} → ˆ
R[y] sc /(1 − ˆ
θ)( ˆ
R[y] sc )).
En appliquant [48] A.3.14, cela se simplifie en
χ(z) = χ(1) τ ad , ¯
z sc ,
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à ˆ
T sc . Parce que ˆ
u z (w) ∈ ˆ
G
(z˜ s) sc , ce terme est fixe par ad zscssc ◦ ˆ
θ. La formule se
simplifie en
(1 − ˆ
θ)(Y (w)) = ˆ
u 1 (w)z sc s sc ˆ
θ(ˆ u 1 (w)
−1 )s
−1
sc z
−1
sc .
Pour la même raison que ci-dessus, ˆ
u 1 (w) est fixe par ad ssc ◦ ˆ
θ. On obtient
(1 − ˆ
θ)(Y (w)) = ˆ
u 1 (w)z sc ˆ
u 1 (w)
−1 z
−1
sc .
L’élément z sc appartient à Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 . A fortiori, w G (z sc ) = z sc . On a vu cidessus que g 1 (w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 m(w), donc g 1 (w) ∈ ˆ
M . Puisque z sc ∈ Z( ˆ
M sc ), ces deux
éléments commutent, d’où ad g1(w) w G (z sc ) = z sc , c’est-à-dire w G (˜ s) (z sc ) = z sc .
Mais alors
ad ˆ
u1(w) (z sc ) = w R (z sc ).
On obtient
(1 − ˆ
θ)(Y (w)) = w R (z sc )z
−1
sc ,
ce qui prouve que (Y , z
−1
sc ) est un cocycle. Cela démontre (4).
Il y a un homomorphisme naturel
H
1,0 (W F ; ˆ
R[y] sc / ˆ
R[y]
ˆ
θ
sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
R[y] sc ) → H
1,0 (W F ; ˆ
R[y]/ ˆ
R[y]
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
R[y] ad ).
Le cocycle (Y (1)
−1 Y (z), z ad ) est l’image par cet homomorphisme de (Y , z sc ). Notons τ ad l’image de τ dans R[y] ad . Puisque d ∈ Z(G), l’image de (τ, θ(d)
−1 d) dans
H
1,0 (Γ F ; R[y] ad
1−θ
→ (1 − θ)(R[y] ad )) par l’homomorphisme dual du précédent est
(τ ad , 1). Grâce à (3), on obtient
χ(z) = χ(1) (τ ad , 1), (Y , z sc ) .
Rappelons que R[y]
θ
ad est connexe. Le fait que (τ ad , 1) soit un cocycle implique
que τ ad prend ses valeurs dans ce tore. On a un homomorphisme naturel
H
1,0 (Γ F ; R[y]
θ
ad → {1}) → H
1,0 (Γ F ; R[y] ad
1−θ
→ (1 − θ)(R[y] ad ))
et (τ ad , 1) est l’image du même cocycle, vu comme un élément du premier groupe.
L’image de (Y , z
−1
sc ) dans H
1,0 (W F ; {1} → ˆ
R[y] sc /(1 − ˆ
θ)( ˆ
R[y] sc )) par l’homomorphisme dual du précédent est (1, ¯
z sc ), où ¯
z sc est l’image de z sc dans ˆ
R[y] sc /(1 −
ˆ
θ)( ˆ
R[y] sc ). D’où
χ(z) = χ(1) (τ ad , 1), (1, ¯
z sc ) ,
le produit étant celui sur
H
1,0 (Γ F ; R[y]
θ
ad → {1}) × H
1,0 (W F ; {1} → ˆ
R[y] sc /(1 − ˆ
θ)( ˆ
R[y] sc )).
En appliquant [48] A.3.14, cela se simplifie en
χ(z) = χ(1) τ ad , ¯
z sc ,