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Chapitre III. Réductions et preuves
L’élément z appartient par définition à Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . On a déjà dit plusieurs fois que ce tore n’est autre que Z( ˆ
M ad )
ΓF , ˆ
θ . Il est connexe. On peut donc
relever z ad en un élément z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 . Ce groupe est un sous-groupe de
ˆ
R[y] sc . Montrons que
(4) le couple (Y , z sc ) appartient à Z
1,0 (W F ; ˆ
R[y] sc / ˆ
R[y]
ˆ
θ
sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
R[y] sc ).
On note w → w R l’action galoisienne sur ˆ
R[y] (ou les tores reliés tels que
ˆ
R[y] sc etc. . .). On a les égalités w R = ad ˆ
uz(w) ◦w G (z˜ s) = ad ˆ
uz (w) ◦ ad gz (w) ◦w G .
Remarquons que w R n’agit que sur ˆ
R mais le dernier opérateur s’etend à tout ˆ
G.
Pour w, w
∈ W F , on a
Y (w)w R (Y (w
)) = Y (w)ˆ u z (w)g z (w)w G (Y (w
))g z (w)
−1 ˆ
u z (w)
−1 .
C’est la projection dans ˆ
R[y] sc / ˆ
R[y]
ˆ
θ
sc de
ˆ
u 1 (w)g z (w)w G (ˆ u 1 (w
))w G (ˆ u z (w
))
−1 g z (w)
−1 ˆ
u z (w)
−1
= ˆ
u 1 (w)g z (w)w G (ˆ u 1 (w
))g z (w)
−1 g z (w)w G (ˆ u z (w
))
−1 g z (w)
−1 ˆ
u z (w)
−1
= ˆ
u 1 (w)g z (w)w G (ˆ u 1 (w
))g z (w)
−1 w G (z˜ s) (ˆ u z (w
))
−1 ˆ
u z (w)
−1 .
On a vu ci-dessus que g z (w)g 1 (w)
−1 appartenait à ˆ
T
ˆ
θ,0 . En relevant l’image de
cet élément dans ˆ
G AD en un élément de ˆ
T
ˆ
θ
sc , on obtient qu’il existe t ∈ ˆ
T
ˆ
θ
sc tel que
ad gz(w) = ad t ◦ ad g1(w) . Donc
g z (w)w G (ˆ u 1 (w
))g z (w)
−1 = tg 1 (w)w G (ˆ u 1 (w
))g 1 (w)
−1 t
−1 = tw G (˜ s) (ˆ u 1 (w
))t
−1 .
On obtient que Y (w)w R (Y (w
)) est la projection dans ˆ
R[y] sc / ˆ
R[y]
ˆ
θ
sc de
ˆ
u 1 (w)tw G (˜ s) (ˆ u 1 (w
))t
−1 w G (z˜ s) (ˆ u z (w
))
−1 ˆ
u z (w)
−1 .
Comme plus haut, les éléments ˆ
u z (w) etc. . . normalisent le tore ˆ
T
ˆ
θ
sc , donc les
éléments t de la formule ci-dessus disparaissent par projection. Il reste
ˆ
u 1 (w)w G (˜ s) (ˆ u 1 (w
))w G (z˜ s) (ˆ u z (w
))
−1 ˆ
u z (w)
−1 .
Or, d’après la construction de Langlands et Shelstad, les applications ˆ
u 1 , resp. ˆ
u z ,
sont des cocycles (à valeurs dans ˆ
G
(˜ s), resp. ˆ
G
(z˜ s)). Le terme ci-dessus est donc
égal à ˆ
u 1 (ww
)ˆ u z (ww
)
−1 . Sa projection est Y (ww
). Cela prouve que Y est un
cocycle. Pour w ∈ W F , on a l’égalité
(1 − ˆ
θ)(Y (w)) = ˆ
u 1 (w)ˆ u z (w)
−1 ˆ
θ(ˆ u z (w)ˆ u 1 (w)
−1 ).
Fixons un relèvement s sc de s ad dans ˆ
G SC . On peut remplacer ˆ
θ par ad zscssc ◦ ˆ
θ
puisque le terme auquel on applique cet opérateur commute à z sc s sc : il appartient