III.8. Descente des germes de Shalika endoscopiques
415
où j
∗ est l’homomorphisme dual de j. On reconnaît le premier terme du membre
de droite : c’est
Δ 1 (z˜ s)(exp(Y
(z)) 1 (˜ s), exp(X
[y])η[y]; exp(Y
(z)) 1 (˜ s), exp(X
[y])η[y]),
et on sait que ce facteur vaut 1.
L’élément j
∗ ( ˆ
V 1 , zs) appartient à H
1,0 (W F ; ˆ
R[y]/ ˆ
R[y]
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
R[y] ad ). On voit
que c’est le couple (Y (z), z ad s ad ), où Y (z) est l’image dans ˆ
R[y]/ ˆ
R[y]
ˆ
θ,0 du cocycle
t R[y] construit en [I] 2.2 et z ad et s ad sont les images de z et s dans ˆ
G AD . On a
ajouté un z dans la notation Y (z) parce qu’il dépend en effet de z et parce que
cela va nous être utile. On obtient
χ(z) =
(τ, θ(d)
−1 d), (Y (z), z ad s ad )
,
d’où
(3)
χ(z) = χ(1)
(τ, θ(d)
−1 d), (Y (1)
−1 Y (z), z ad )
.
Calculons Y (1)
−1 Y (z). On ajoute des indices z ou 1 dans les notations pour distinguer les termes relatifs à G
(z˜ s) de ceux relatifs à G
(˜ s). La définition de [I] 2.2
donne, pour w ∈ W F ,
t R[y],z (w) = ˆ
r R[y] (w)ˆ n(ω R[y] (w))g z (w)
−1
ˆ
n G (z˜ s) (ω R[y],G (z˜ s) (w))
−1 ˆ
r R[y],G (z˜ s) (w)
−1 .
Pour simplifier les notations, on pose
ˆ
u z (w) = ˆ
r R[y],G (z˜ s) (w)ˆ n G (z˜ s) (ω R[y],G (z˜ s) (w)).
Donc Y (1)
−1 (w)Y (z)(w) est la projection de
ˆ
u 1 (w)g 1 (w)g z (w)
−1 ˆ
u z (w)
−1 .
On se rappelle que g z,w = (g z (w), w) est un élément de G
(z˜ s) tel que ad gz,w ◦w G
agisse comme w G (z˜ s) sur ˆ
G
(z˜ s).
On introduit de même un élément m w = (m(w), w) ∈ M
tel que ad mw ◦w M
agisse comme w M sur ˆ
M
. Puisque G
(z˜ s) = ˆ
G
(z˜ s)M
par définition, les éléments
g z,w et m w appartiennent tous deux à G
(z˜ s) et conservent la même paire de Borel (celle que l’on a fixée pour laquelle ˆ
M
est un Levi standard). Il en résulte
que g z (w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 m(w). Donc g 1 (w)g z (w)
−1
∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 . Les éléments ˆ
u z (w) et ˆ
u 1 (w)
normalisent ce tore. Puisqu’on projette dans ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 , on peut aussi bien supprimer le terme g 1 (w)g z (w)
−1 et on obtient que Y (1)
−1 (w)Y (z)(w) est la projection
de ˆ
u 1 (w)ˆ u z (w)
−1 . Les deux éléments ˆ
u z (w) et ˆ
u 1 (w) se relèvent naturellement
dans ˆ
G SC . Définissons une cochaîne Y : W F → ˆ
R[y] sc / ˆ
R[y]
ˆ
θ
sc ainsi : Y (w) est la
projection dans ˆ
R[y] sc / ˆ
R[y]
ˆ
θ
sc de ˆ
u 1 (w)ˆ u z (w)
−1 , vu comme un élément de ˆ
R[y] sc .
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où j
∗ est l’homomorphisme dual de j. On reconnaît le premier terme du membre
de droite : c’est
Δ 1 (z˜ s)(exp(Y
(z)) 1 (˜ s), exp(X
[y])η[y]; exp(Y
(z)) 1 (˜ s), exp(X
[y])η[y]),
et on sait que ce facteur vaut 1.
L’élément j
∗ ( ˆ
V 1 , zs) appartient à H
1,0 (W F ; ˆ
R[y]/ ˆ
R[y]
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
R[y] ad ). On voit
que c’est le couple (Y (z), z ad s ad ), où Y (z) est l’image dans ˆ
R[y]/ ˆ
R[y]
ˆ
θ,0 du cocycle
t R[y] construit en [I] 2.2 et z ad et s ad sont les images de z et s dans ˆ
G AD . On a
ajouté un z dans la notation Y (z) parce qu’il dépend en effet de z et parce que
cela va nous être utile. On obtient
χ(z) =
(τ, θ(d)
−1 d), (Y (z), z ad s ad )
,
d’où
(3)
χ(z) = χ(1)
(τ, θ(d)
−1 d), (Y (1)
−1 Y (z), z ad )
.
Calculons Y (1)
−1 Y (z). On ajoute des indices z ou 1 dans les notations pour distinguer les termes relatifs à G
(z˜ s) de ceux relatifs à G
(˜ s). La définition de [I] 2.2
donne, pour w ∈ W F ,
t R[y],z (w) = ˆ
r R[y] (w)ˆ n(ω R[y] (w))g z (w)
−1
ˆ
n G (z˜ s) (ω R[y],G (z˜ s) (w))
−1 ˆ
r R[y],G (z˜ s) (w)
−1 .
Pour simplifier les notations, on pose
ˆ
u z (w) = ˆ
r R[y],G (z˜ s) (w)ˆ n G (z˜ s) (ω R[y],G (z˜ s) (w)).
Donc Y (1)
−1 (w)Y (z)(w) est la projection de
ˆ
u 1 (w)g 1 (w)g z (w)
−1 ˆ
u z (w)
−1 .
On se rappelle que g z,w = (g z (w), w) est un élément de G
(z˜ s) tel que ad gz,w ◦w G
agisse comme w G (z˜ s) sur ˆ
G
(z˜ s).
On introduit de même un élément m w = (m(w), w) ∈ M
tel que ad mw ◦w M
agisse comme w M sur ˆ
M
. Puisque G
(z˜ s) = ˆ
G
(z˜ s)M
par définition, les éléments
g z,w et m w appartiennent tous deux à G
(z˜ s) et conservent la même paire de Borel (celle que l’on a fixée pour laquelle ˆ
M
est un Levi standard). Il en résulte
que g z (w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 m(w). Donc g 1 (w)g z (w)
−1
∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 . Les éléments ˆ
u z (w) et ˆ
u 1 (w)
normalisent ce tore. Puisqu’on projette dans ˆ
T / ˆ
T
ˆ
θ,0 , on peut aussi bien supprimer le terme g 1 (w)g z (w)
−1 et on obtient que Y (1)
−1 (w)Y (z)(w) est la projection
de ˆ
u 1 (w)ˆ u z (w)
−1 . Les deux éléments ˆ
u z (w) et ˆ
u 1 (w) se relèvent naturellement
dans ˆ
G SC . Définissons une cochaîne Y : W F → ˆ
R[y] sc / ˆ
R[y]
ˆ
θ
sc ainsi : Y (w) est la
projection dans ˆ
R[y] sc / ˆ
R[y]
ˆ
θ
sc de ˆ
u 1 (w)ˆ u z (w)
−1 , vu comme un élément de ˆ
R[y] sc .