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Chapitre III. Réductions et preuves
L’égalité (1) est équivalente à
(2)
z∈Z
χ(z) = 0.
Fixons z ∈ Z et calculons χ(z). Le tore R
est un transfert de R
[y] par l’automorphisme intérieur ad y . Quitte à multiplier y à gauche par un élément de I η ,
ce qui ne change rien au problème, on peut supposer que ad y (R
[y]) = R
et que
ad y se restreint en un isomorphisme défini sur F de R
[y] sur R
. Ces propriétés
se prolongent automatiquement : ad y se restreint en un isomorphisme défini sur
F de R[y] sur R. On calcule χ(z) en utilisant les formules de [I] 2.2. Les tores T
et T sont remplacés par R[y] et R. Du côté dual, on peut identifier les tores ˆ
R[y]
et ˆ
R. Les constructions sont les mêmes pour les deux tores. Le cocycle ˆ
V 1 de [I]
2.2 est donc de la forme ˆ
V 1 (w) = ( ˆ
V R1 (w), ˆ
V R1 (w), 1) (on a remplacé la lettre T
de [I] 2.2 par R par souci de cohérence) et l’élément de H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) est
( ˆ
V 1 , zs), où zs = (z sc s sc , z sc s sc ). Du côté des groupes sur F , on doit faire un peu
attention. On peut identifier les tores R et R[y] par l’automorphisme ad y . Mais
les cocycles ne s’identifient pas exactement. On a des cocycles V R[y] et V R définis
par des formules
V R[y] (σ) = r R[y] (σ)n E (ω R[y] (σ))u E (σ),
V R (σ) = r R (σ)n E (ω R (σ))u E (σ),
en adaptant les notations de [I] 2.2 à la présente situation. Fixons une décomposition y = y sc d, avec y sc ∈ G SC et d ∈ Z(G). On a défini u E (σ) par u E (σ) =
y sc u E (σ)σ(y sc )
−1 . On vérifie alors que l’on a l’égalité
y
−1 V R (σ)y = V R[y] (σ)σ(y sc )
−1 y sc .
De même, on a posé exp(X
[y])η[y] = νe et exp(X
)η = νe. On a exp(X
)η =
ad y (exp(X
[y])η[y]), mais e = ad ysc (e). On en déduit ν = dθ(d)
−1 ad y (ν). En
identifiant maintenant les deux tores via ad y , on obtient que le cocycle V est de la
forme V (σ) = (V R[y] (σ), V R[y] (σ)
−1 y
−1
sc σ(y sc )) et que l’élément ν 1 est de la forme
(ν 1 , ν
−1
1 θ(d)d
−1 ). Pour σ ∈ Γ F , posons τ (σ) = σ(y sc )
−1 y sc . Alors τ est un cocycle
à valeurs dans R[y] sc . On vérifie que le couple (τ, θ(d)
−1 d) est un cocycle qui
définit un élément de H
1,0 (Γ F ; R[y] sc
1−θ
→ (1 − θ)(R[y])). On a un homomorphisme
naturel
j : H
1,0 (Γ F ; R[y] sc
1−θ
→ (1 − θ)(R[y])) → H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 )
(via les secondes composantes, cf. les formules ci-dessus).
On peut décomposer le cocycle (V, ν 1 ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) en le produit
de l’image naturelle de l’inverse du cocycle précédent et du cocycle (V 0 , ν 0 ) défini
par V 0 (σ) = (V R[y] (σ), V R[y] (σ)
−1 ) et ν 0 = (ν 1 , ν
−1
1 ). On a alors
χ(z) =
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , zs)
−1
=
(V 0 , ν 0 ), ( ˆ
V 1 , zs)
−1
(τ, θ(d)
−1 d), j
∗ ( ˆ
V 1 , zs)
,
Chapitre III. Réductions et preuves
L’égalité (1) est équivalente à
(2)
z∈Z
χ(z) = 0.
Fixons z ∈ Z et calculons χ(z). Le tore R
est un transfert de R
[y] par l’automorphisme intérieur ad y . Quitte à multiplier y à gauche par un élément de I η ,
ce qui ne change rien au problème, on peut supposer que ad y (R
[y]) = R
et que
ad y se restreint en un isomorphisme défini sur F de R
[y] sur R
. Ces propriétés
se prolongent automatiquement : ad y se restreint en un isomorphisme défini sur
F de R[y] sur R. On calcule χ(z) en utilisant les formules de [I] 2.2. Les tores T
et T sont remplacés par R[y] et R. Du côté dual, on peut identifier les tores ˆ
R[y]
et ˆ
R. Les constructions sont les mêmes pour les deux tores. Le cocycle ˆ
V 1 de [I]
2.2 est donc de la forme ˆ
V 1 (w) = ( ˆ
V R1 (w), ˆ
V R1 (w), 1) (on a remplacé la lettre T
de [I] 2.2 par R par souci de cohérence) et l’élément de H
1,0 (W F ; ˆ
S 1
1− ˆ
θ
→ ˆ
U ) est
( ˆ
V 1 , zs), où zs = (z sc s sc , z sc s sc ). Du côté des groupes sur F , on doit faire un peu
attention. On peut identifier les tores R et R[y] par l’automorphisme ad y . Mais
les cocycles ne s’identifient pas exactement. On a des cocycles V R[y] et V R définis
par des formules
V R[y] (σ) = r R[y] (σ)n E (ω R[y] (σ))u E (σ),
V R (σ) = r R (σ)n E (ω R (σ))u E (σ),
en adaptant les notations de [I] 2.2 à la présente situation. Fixons une décomposition y = y sc d, avec y sc ∈ G SC et d ∈ Z(G). On a défini u E (σ) par u E (σ) =
y sc u E (σ)σ(y sc )
−1 . On vérifie alors que l’on a l’égalité
y
−1 V R (σ)y = V R[y] (σ)σ(y sc )
−1 y sc .
De même, on a posé exp(X
[y])η[y] = νe et exp(X
)η = νe. On a exp(X
)η =
ad y (exp(X
[y])η[y]), mais e = ad ysc (e). On en déduit ν = dθ(d)
−1 ad y (ν). En
identifiant maintenant les deux tores via ad y , on obtient que le cocycle V est de la
forme V (σ) = (V R[y] (σ), V R[y] (σ)
−1 y
−1
sc σ(y sc )) et que l’élément ν 1 est de la forme
(ν 1 , ν
−1
1 θ(d)d
−1 ). Pour σ ∈ Γ F , posons τ (σ) = σ(y sc )
−1 y sc . Alors τ est un cocycle
à valeurs dans R[y] sc . On vérifie que le couple (τ, θ(d)
−1 d) est un cocycle qui
définit un élément de H
1,0 (Γ F ; R[y] sc
1−θ
→ (1 − θ)(R[y])). On a un homomorphisme
naturel
j : H
1,0 (Γ F ; R[y] sc
1−θ
→ (1 − θ)(R[y])) → H
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 )
(via les secondes composantes, cf. les formules ci-dessus).
On peut décomposer le cocycle (V, ν 1 ) ∈ Z
1,0 (Γ F ; U
1−θ
→ S 1 ) en le produit
de l’image naturelle de l’inverse du cocycle précédent et du cocycle (V 0 , ν 0 ) défini
par V 0 (σ) = (V R[y] (σ), V R[y] (σ)
−1 ) et ν 0 = (ν 1 , ν
−1
1 ). On a alors
χ(z) =
(V, ν 1 ), ( ˆ
V 1 , zs)
−1
=
(V 0 , ν 0 ), ( ˆ
V 1 , zs)
−1
(τ, θ(d)
−1 d), j
∗ ( ˆ
V 1 , zs)
,