III.8. Descente des germes de Shalika endoscopiques
413
Preuve. On peut supposer G
(¯ s) elliptique, sinon les deux membres sont nuls.
Supposons d’abord y ∈ ˙
Y
M . On normalise le facteur Δ(˜ s, y) par l’égalité 7.1(8).
Cela entraîne d(˜ s)d(˜ s, y) = 1 d’après 7.1(9). L’égalité de l’énoncé résulte alors
directement de la formule 8.2(5).
Supposons maintenant y ∈ ˙
Y
M . Fixons ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ se projetant sur ¯
s. L’ensemble des éléments de ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ qui se projettent sur
¯
s est alors l’ensemble des z˜ s pour z ∈ Z. On cherche à démontrer l’égalité
z∈Z
d(z˜ s)d(z˜ s, y) = 0.
On peut supposer que ˙
Y
M contient l’élément 1. Comme on vient de le voir, la
fonction z → d(z˜ s)d(z˜ s, 1) est constante de valeur 1. On peut donc aussi bien
démontrer l’égalité
(1)
z∈Z
d(z˜ s, y)d(z˜ s, 1)
−1 = 0.
Effectuons les constructions de 5.2 dans un sens différent. On fixe un sous-tore
maximal elliptique ¯
R
de ¯
G
(¯ s). Parce qu’il est elliptique, il se transfère en un tore
R
sc de G η,SC et en un tore R
[y] sc de G η[y],SC . On note R
, resp. R
[y], leurs
tores associés dans G η , resp. G η[y] , et R, resp. R[y], les commutants de ces tores
dans G. Pour z ∈ Z, le tore ¯
R
sc se transfère par endoscopie non standard en un
tore R
(z) sc de G
(z˜ s) ,SC . On note R
(z) le tore associé dans G
(z˜ s) , qui est
aussi un sous-tore maximal de G
(z˜ s). On fixe X ∈ r
θ (F ) = r
(F ) en position
générale et proche de 0, que l’on écrit X = X sc + H 1 , avec X sc ∈ r
sc (F ) et
H 1 ∈ z(G η ; F ) z( ¯
G; F ). On tranfère X sc en un élément ¯
Y ∈ ¯ r
(F ) que l’on
écrit ¯
Y = ¯
Y sc + H 2 , avec ¯
Y sc ∈ ¯ r
sc (F ) et H 2 ∈ z( ¯
G
(¯ s); F ). On transfère ¯
Y sc en
un élément Y sc (z) ∈ r
(z) sc (F ). Modulo les mêmes identifications qu’en 5.2, on
pose Y (z) = Y sc (z) + H 1 + H 2 . C’est un élément de R
(z)(F ). On transfère aussi
¯
Y en un élément X[y] sc de r
[y] sc (F ) et on pose X[y] = X[y] sc + H 1 , modulo
l’isomorphisme z( ¯
G; F ) z(G η[y] ; F ). La définition 5.4(1) donne
d(z˜ s, y)Δ(¯ s, y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) = Δ 1 (z˜ s)(exp(Y (z)) 1 (˜ s), exp(X
[y])η[y]),
d(z˜ s, 1)Δ(¯ s, 1)(exp( ¯
Y ), exp(X sc )) = Δ 1 (z˜ s)(exp(Y (z)) 1 (˜ s), exp(X)η).
Donc
d(z˜ s, y)d(z˜ s, 1)
−1 = cχ(z),
où
c = Δ(¯ s, 1)(exp( ¯
Y ), exp(X sc ))Δ(¯ s, y)(exp( ¯
Y
), exp(X sc [y]))
−1 ,
χ(z) = Δ(z˜ s) 1 (exp(Y (z))(˜ s) 1 , exp(X[y])η[y])Δ(z˜ s) 1 (exp(Y (z))(˜ s) 1 , exp(X)η)
−1
= Δ(z˜ s) 1 (exp(Y (z))(˜ s) 1 , exp(X[y])η[y]; exp(Y (z))(˜ s) 1 , exp(X)η).
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Preuve. On peut supposer G
(¯ s) elliptique, sinon les deux membres sont nuls.
Supposons d’abord y ∈ ˙
Y
M . On normalise le facteur Δ(˜ s, y) par l’égalité 7.1(8).
Cela entraîne d(˜ s)d(˜ s, y) = 1 d’après 7.1(9). L’égalité de l’énoncé résulte alors
directement de la formule 8.2(5).
Supposons maintenant y ∈ ˙
Y
M . Fixons ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ se projetant sur ¯
s. L’ensemble des éléments de ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ qui se projettent sur
¯
s est alors l’ensemble des z˜ s pour z ∈ Z. On cherche à démontrer l’égalité
z∈Z
d(z˜ s)d(z˜ s, y) = 0.
On peut supposer que ˙
Y
M contient l’élément 1. Comme on vient de le voir, la
fonction z → d(z˜ s)d(z˜ s, 1) est constante de valeur 1. On peut donc aussi bien
démontrer l’égalité
(1)
z∈Z
d(z˜ s, y)d(z˜ s, 1)
−1 = 0.
Effectuons les constructions de 5.2 dans un sens différent. On fixe un sous-tore
maximal elliptique ¯
R
de ¯
G
(¯ s). Parce qu’il est elliptique, il se transfère en un tore
R
sc de G η,SC et en un tore R
[y] sc de G η[y],SC . On note R
, resp. R
[y], leurs
tores associés dans G η , resp. G η[y] , et R, resp. R[y], les commutants de ces tores
dans G. Pour z ∈ Z, le tore ¯
R
sc se transfère par endoscopie non standard en un
tore R
(z) sc de G
(z˜ s) ,SC . On note R
(z) le tore associé dans G
(z˜ s) , qui est
aussi un sous-tore maximal de G
(z˜ s). On fixe X ∈ r
θ (F ) = r
(F ) en position
générale et proche de 0, que l’on écrit X = X sc + H 1 , avec X sc ∈ r
sc (F ) et
H 1 ∈ z(G η ; F ) z( ¯
G; F ). On tranfère X sc en un élément ¯
Y ∈ ¯ r
(F ) que l’on
écrit ¯
Y = ¯
Y sc + H 2 , avec ¯
Y sc ∈ ¯ r
sc (F ) et H 2 ∈ z( ¯
G
(¯ s); F ). On transfère ¯
Y sc en
un élément Y sc (z) ∈ r
(z) sc (F ). Modulo les mêmes identifications qu’en 5.2, on
pose Y (z) = Y sc (z) + H 1 + H 2 . C’est un élément de R
(z)(F ). On transfère aussi
¯
Y en un élément X[y] sc de r
[y] sc (F ) et on pose X[y] = X[y] sc + H 1 , modulo
l’isomorphisme z( ¯
G; F ) z(G η[y] ; F ). La définition 5.4(1) donne
d(z˜ s, y)Δ(¯ s, y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) = Δ 1 (z˜ s)(exp(Y (z)) 1 (˜ s), exp(X
[y])η[y]),
d(z˜ s, 1)Δ(¯ s, 1)(exp( ¯
Y ), exp(X sc )) = Δ 1 (z˜ s)(exp(Y (z)) 1 (˜ s), exp(X)η).
Donc
d(z˜ s, y)d(z˜ s, 1)
−1 = cχ(z),
où
c = Δ(¯ s, 1)(exp( ¯
Y ), exp(X sc ))Δ(¯ s, y)(exp( ¯
Y
), exp(X sc [y]))
−1 ,
χ(z) = Δ(z˜ s) 1 (exp(Y (z))(˜ s) 1 , exp(X[y])η[y])Δ(z˜ s) 1 (exp(Y (z))(˜ s) 1 , exp(X)η)
−1
= Δ(z˜ s) 1 (exp(Y (z))(˜ s) 1 , exp(X[y])η[y]; exp(Y (z))(˜ s) 1 , exp(X)η).