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Chapitre III. Réductions et preuves
Posons
(2)
ξ[y] =
¯
s∈Z( ˆ ¯
M ad )
Γ F
x(¯ s, y)Sg
¯
G
(¯ s)
¯
M ,unip
( ¯
δ).
Alors les calculs ci-dessus transforment l’expression (1) en
(3)
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ) =
y∈ ˙
Y
c[y] desc
˜
G,∗
η[y] ◦ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
◦ transfert y (ξ[y]).
D’après 5.3(5), l’ensemble S est vide si A Gη = A ˜
G . Cela entraîne
(4)
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ) = 0 si A Gη = A ˜
G .
Dans la suite, on suppose A Gη = A ˜
G . Alors, d’après 5.3(6), S est l’image
réciproque de l’ensemble des ¯
s tels que G
(¯ s) soit elliptique. Notons Z le noyau
de l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ ¯
M )
ΓF /Z( ˆ ¯
G)
ΓF .
Pour ˜
s ∈ S, on a l’égalité
e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = |Z|
−1 c
¯
G
(¯ s)SC , ˜
G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc, ˜
M (˜ s),sc
i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s)).
On a vu cette égalité dans la preuve de 7.1(14) (où |Z| était noté d). Grâce à elle
et à la description de S, on transforme la définition de x(¯ s, y) en
(5)
x(¯ s, y) = |Z|
−1 i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s))
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ ,˜ s →¯ s
d(˜ s)d(y, ˜
s).
III.8.3 Calcul de x(¯ s, y)
Rappelons que l’on note Y
M l’analogue de Y quand on remplace ˜
G par ˜
M , c’està-dire l’ensemble des y ∈ M tels que yσ(y)
−1
∈ I
M
η , où I
M
η = Z(M )
θ M η . On a
fixé un ensemble ˙
Y de représentants du quotient I η \Y/G(F ). On fixe de même
un ensemble ˙
Y
M du quotient I
M
η \Y
M /M (F ). Le lemme [I] 5.11 nous autorise à
supposer que ˙
Y
M est un sous-ensemble de ˙
Y.
Proposition. Soient ¯
s ∈ ¯
ζZ( ˆ ¯
M ad )
ΓF et y ∈ ˙
Y. Alors on peut normaliser le facteur
de transfert Δ(¯ s, y) de sorte que l’on ait l’égalité
x(¯ s, y) =
i ¯
M ( ¯
G SC , ¯
G
(¯ s)) si y ∈ ˙
Y
M ,
0,
sinon.