III.8. Descente des germes de Shalika endoscopiques
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Grâce à 5.4(2), on a
transfert(τ (˜ s)
˜
G
1 (˜ s) ) =
y∈ ˙
Y
c[y]d(˜ s, y)τ [y]
˜
G .
Reprenons la construction des éléments τ [y]. Notons ¯
δ SC l’image par transfert non
standard de δ ,SC . C’est un élément de D
st
g´ eom ( ¯
M
SC (F )). En utilisant l’analogue
de 3.7(4) pour le transfert non standard, on obtient que le transfert non standard
de δ(˜ s) ,sc est
¯
δ(¯ s) sc = exp(Z 3 (¯ s))ι
∗
¯
M
SC , ¯
M (¯ s)sc ( ¯
δ SC ).
Utilisons l’hypothèse (1). Elle nous dit que le transfert non standard ¯
τ (¯ s) sc de
τ (˜ s) sc est cSg
¯
G
(¯ s)SC
¯
M (¯ s)sc,unip
( ¯
δ(¯ s) sc ), où
c = (c
¯
G
(¯ s)SC , ˜
G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc, ˜
M (˜ s),sc
)
−1 .
En utilisant le lemme 3.7, l’élément ¯
τ (¯ s) = ι
∗
¯
G (¯ s)SC , ¯
G (¯ s)
(¯ τ (¯ s) sc ) est égal à
cSg
¯
G
(¯ s)
¯
M ,unip
( ¯
δ),
où
¯
δ = exp(Z 2 (¯ s))ι
∗
¯
M (¯ s)sc, ¯
M ( ¯
δ(¯ s) sc ).
Remarquons que l’on a aussi ¯
δ = exp(Z 2 )ι
∗
¯
M
SC , ¯
M ( ¯
δ SC ), où Z 2 = Z 2 (¯ s) + Z 3 (¯ s) ∈
z( ¯
M
; F ). Ces termes Z 2 et ¯
δ sont indépendants de ¯
s. Ensuite
τ [y]
˜
G = desc
˜
G,∗
η[y] ◦ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
◦ transfert y (¯ τ (¯ s))
= c desc
˜
G,∗
η[y] ◦ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
◦ transfert y (Sg
¯
G
(¯ s)
¯
M ,unip
( ¯
δ)).
On obtient
transfert(Sg
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),O (δ 1 (˜ s), B
˜
G ))
=
y∈ ˙
Y
c[y]d(˜ s, y)e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()d(˜ s)(c
¯
G
(¯ s)SC , ˜
G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc, ˜
M (˜ s),sc
)
−1
desc
˜
G,∗
η[y] ◦ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
◦ transfert y (Sg
¯
G
(¯ s)
¯
M ,unip
( ¯
δ)).
On se rappelle que l’on a supposé A G (˜ s) = A G (˜ s) . Comme en 5.3, notons S
l’ensemble des ˜
s tels que G
(˜ s) soit elliptique et que cette égalité soit vérifiée.
Pour tout y ∈ ˙
Y et tout ¯
s ∈ Z( ˆ ¯
M ad )
ΓF , posons
x(¯ s, y) =
˜
s∈S,˜ s →¯ s
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))d(˜ s, y)e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()d(˜ s)(c
¯
G
(¯ s)SC , ˜
G
(˜ s),SC
¯
M (¯ s)sc, ˜
M (˜ s),sc
)
−1 .