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Chapitre III. Réductions et preuves
Utilisons la description de 5.5. Par linéarité, on peut supposer qu’il existe Z ∈
z(M
; F ) et δ ,SC ∈ D
st
g´ eom (M
,SC (F )) tels que
δ 1 = desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
(exp(Z)ι
∗
M
,SC ,M
1,, 1
(δ ,SC )).
Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . D’après 5.5, l’élément δ s’identifie aussi à l’élément
δ 1 (˜ s) = d(˜ s) desc
st, ˜
M
1 (˜ s),∗
1(˜ s)
(exp(Z)ι
∗
M
,SC ,M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(δ ,SC )) ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (˜ s; F ))).
A l’aide de 5.3(4), on décompose Z en Z 1 + Z 2 (¯ s) + Z 3 (¯ s), où Z 1 ∈ z( ¯
G; F ),
Z 2 (¯ s) ∈ z( ¯
G
(¯ s); F ), Z 3 (¯ s) ∈ z( ¯
M
(¯ s) sc ; F ) z( ˜
M
(˜ s) sc ; F ). Notons que Z 1 +
Z 2 (¯ s) ∈ z( ˜
G
(˜ s) ). On a alors
δ 1 (˜ s) = d(˜ s) desc
st, ˜
M
1 (˜ s),∗
1(˜ s)
(exp(Z 1 + Z 2 (¯ s))ι
∗
M (˜ s),sc,M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(δ(˜ s) ,sc )),
où
δ(˜ s) ,sc = exp(Z 3 (¯ s))ι
∗
M
,SC ,M (˜ s),sc (δ ,SC ).
On a
Sg
G
(˜ s)
M ,O (δ, B
˜
G ) = Sg
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),O (δ 1 (˜ s), B
˜
G ).
Nos hypothèses de récurrence autorisent à utiliser la proposition 4.4. Le terme cidessus est nul si A G
1 (˜ s) = A G
1 (˜ s) 1 (˜ s) . Cette condition équivaut à A G (˜ s) = A G (˜ s) .
Supposons que A G (˜ s) = A G (˜ s) . Alors le terme précédent vaut
e
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s))d(˜ s) desc
st, ˜
G
1 (˜ s),∗
Sg
˜
G
1 (˜ s) 1 (˜ s)
M
1 (˜ s) 1 (˜ s) ,unip
exp(Z 1 + Z 2 (¯ s))ι
∗
M (˜ s),sc,M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(δ(˜ s) ,sc ), B
˜
G
O
.
Comme en 7.1(4), on peut simplifier e
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s)
( 1 (˜ s)) en e
˜
G
(˜ s)
˜
M (). On applique la
proposition 3.7 : on a
Sg
˜
G
1 (˜ s) 1 (˜ s)
M
1 (˜ s) 1 (˜ s) ,unip
exp(Z 1 + Z 2 (˜ s))ι
∗
M (˜ s),sc,M
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(δ(˜ s) ,sc ), B
˜
G
O
= ι
∗
G (˜ s),SC ,G
1 (˜ s) 1 (˜ s)
(τ (˜ s) sc ),
où
τ (˜ s) sc = Sg
G
(˜ s),SC
M (˜ s),sc,unip (δ(˜ s) ,sc , B
˜
G
O ).
Avec les notations de 5.4(2), on obtient
Sg
˜
G
1 (˜ s)
˜
M
1 (˜ s),O (δ 1 (˜ s), B
˜
G ) = e
˜
G
(˜ s)
˜
M ()d(˜ s)τ (˜ s)
˜
G
1 (˜ s) .