III.8. Descente des germes de Shalika endoscopiques
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III.8 Descente des germes de Shalika endoscopiques
III.8.1 La proposition [II] 2.7 dans un cas particulier
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque, un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une
donnée endoscopique elliptique et relevante M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a).
On suppose donné un diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η) joignant un élément
∈ ˜
M
ss (F ) à un élément η ∈ ˜
M ss (F ). On suppose que M
est quasi-déployé et
que A M
= A M . On note O
la classe de conjugaison stable de dans ˜
M
(F )
et O la classe de conjugaison stable de η dans ˜
M (F ). Comme on l’a vu, tout
élément ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ donne naissance à un triplet endoscopique non
standard ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ). Du système de fonctions B
˜
G sur ˜
G
(˜ s) se déduit
une fonction B
˜
G
O sur le système de racines de G
(˜ s) ,SC , puis, par la construction de
6.4, une fonction sur le système de racines de ¯
G
(¯ s) SC . C’est la fonction constante
de valeur 1 d’après 7.1(1). Les groupes G
(˜ s) ,SC et ¯
G
(¯ s) SC contiennent des Levi
M
(˜ s) ,sc et ¯
M
(¯ s) sc . On considère l’hypothèse
(1) pour chaque triplet ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) comme ci-dessus tel que A G (˜ s) =
A ˜
G , la proposition 6.6 est vérifiée pour ces Levi.
Proposition. On suppose que A M
= A M et que l’hypothèse (1) est vérifiée. Soit
δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ , on a l’égalité
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ) = g
˜
G
˜
M,O
(transfert(δ)),
pourvu que δ soit assez proche de O
.
La preuve occupe les trois paragraphes suivants.
III.8.2 Début de la preuve
Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et si M
= M, l’énoncé est
tautologique : le terme Sg
˜
G
˜
M,O
(δ) est défini pour qu’il en soit ainsi. On exclut ce
cas.
Rappelons la définition [II] 2.6(2) :
(1)
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ)
=
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) transfert(Sg
G
(˜ s)
M ,O (δ, B
˜
G )).
On reprend les constructions et notations de la section 5. Après avoir fixé des
données auxiliaires M
1 ,. . .,Δ 1 , on identifie δ à un élément δ 1 ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (F )).
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III.8 Descente des germes de Shalika endoscopiques
III.8.1 La proposition [II] 2.7 dans un cas particulier
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque, un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une
donnée endoscopique elliptique et relevante M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a).
On suppose donné un diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η) joignant un élément
∈ ˜
M
ss (F ) à un élément η ∈ ˜
M ss (F ). On suppose que M
est quasi-déployé et
que A M
= A M . On note O
la classe de conjugaison stable de dans ˜
M
(F )
et O la classe de conjugaison stable de η dans ˜
M (F ). Comme on l’a vu, tout
élément ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ donne naissance à un triplet endoscopique non
standard ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ). Du système de fonctions B
˜
G sur ˜
G
(˜ s) se déduit
une fonction B
˜
G
O sur le système de racines de G
(˜ s) ,SC , puis, par la construction de
6.4, une fonction sur le système de racines de ¯
G
(¯ s) SC . C’est la fonction constante
de valeur 1 d’après 7.1(1). Les groupes G
(˜ s) ,SC et ¯
G
(¯ s) SC contiennent des Levi
M
(˜ s) ,sc et ¯
M
(¯ s) sc . On considère l’hypothèse
(1) pour chaque triplet ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) comme ci-dessus tel que A G (˜ s) =
A ˜
G , la proposition 6.6 est vérifiée pour ces Levi.
Proposition. On suppose que A M
= A M et que l’hypothèse (1) est vérifiée. Soit
δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ , on a l’égalité
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ) = g
˜
G
˜
M,O
(transfert(δ)),
pourvu que δ soit assez proche de O
.
La preuve occupe les trois paragraphes suivants.
III.8.2 Début de la preuve
Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et si M
= M, l’énoncé est
tautologique : le terme Sg
˜
G
˜
M,O
(δ) est défini pour qu’il en soit ainsi. On exclut ce
cas.
Rappelons la définition [II] 2.6(2) :
(1)
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ)
=
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) transfert(Sg
G
(˜ s)
M ,O (δ, B
˜
G )).
On reprend les constructions et notations de la section 5. Après avoir fixé des
données auxiliaires M
1 ,. . .,Δ 1 , on identifie δ à un élément δ 1 ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M
1 (F )).