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Chapitre III. Réductions et preuves
où
(3)
¯
μ = c
G1,G2
M1,M2 transfert(σ
G2
J (δ 2 , a)) − σ
G1
J (δ 1 , a).
On peut alors poursuivre le calcul comme en 7.1. Il apparaît des termes supplémentaires provenant de μ. On obtient une égalité similaire à 7.1(10) :
(4)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = μ +
y∈ ˙
Y M
c
M [y] desc
˜
M,∗
η[y] ◦ transfert y (ξ),
où
μ = x(1)
y∈ ˙
Y M
c
M [y] desc
˜
M,∗
η[y] ◦ ◦ transfert y ( ¯
μ).
Les applications ι
∗ de 7.1(10) disparaissent ici car les groupes G η et G
sont
simplement connexes. Le terme x(1) est le x(¯ s) de 7.1 pour ¯
s = 1. Le calcul de
la somme du membre de droite de (4) se poursuit comme en 7.1. Cette somme
vaut ρ
˜
G
J (transfert(δ), a). Mais, d’après nos hypothèses de récurrence, toutes les
propriétés sont connues pour le triplet (G, ˜
G, a). Donc
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
Il en résulte que μ = 0.
Soit ¯
ϕ ∈ SI(m 1 (F )) à support proche de 0. On l’identifie par l’exponentielle
à une fonction sur M 1 (F ) = ¯
M
(F ). On peut supposer que l’ensemble ˙
Y
M contient
l’élément y = 1. Pour celui-ci, M η[1] = M η est quasi-déployé et on a ¯
M
= M η[1] .
Modulo cette identification, le transfert transfert 1 est l’identité. On peut donc
considérer ¯
ϕ comme un élément de SI(M η[1] (F )), que l’on relève en un élément
ϕ 1 ∈ I(M η[1] (F )). On peut évidemment supposer que ϕ 1 est à support proche
de l’origine. L’application desc
˜
M
η[1] a pour image le sous-espace des éléments de
I(M η[1] (F )) qui sont invariants par l’action de Z M (η[1]; F ). Mais, parce que η[1] =
η conserve une paire de Borel épinglée de M et que T
θ est connexe, on a Z M (η[1]) =
M η[1] . L’application de descente est donc surjective et on peut relever ϕ 1 en un
élément ϕ ∈ I( ˜
M (F )). Toujours parce que Z M (η) est connexe, l’ensemble ˙
Y
M est
un ensemble de représentants des classes de conjugaison par M (F ) dans la classe
de conjugaison stable de η. On peut modifier ϕ de sorte que desc
˜
M
η[y] (ϕ) = 0 pour
tout y ∈ ˙
Y
M tel que y = 1. Il résulte alors de la définition de ϕ que l’on a l’égalité
I
˜
M (μ, ϕ) = S
M1 ( ¯
μ, ¯
ϕ).
Puisque μ = 0, ceci est nul. Puisque cela est vrai pour tout ¯
ϕ, on conclut ¯
μ = 0.
D’après la définition (3), cette nullité est l’assertion de la proposition 6.5.
Attention. On ne doit pas s’abuser : la démonstration ci-dessus s’appuie sur des hypothèses de récurrence. Elle ne deviendra une véritable démonstration que quand
toutes les étapes de la récurrence auront été établies.
Chapitre III. Réductions et preuves
où
(3)
¯
μ = c
G1,G2
M1,M2 transfert(σ
G2
J (δ 2 , a)) − σ
G1
J (δ 1 , a).
On peut alors poursuivre le calcul comme en 7.1. Il apparaît des termes supplémentaires provenant de μ. On obtient une égalité similaire à 7.1(10) :
(4)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = μ +
y∈ ˙
Y M
c
M [y] desc
˜
M,∗
η[y] ◦ transfert y (ξ),
où
μ = x(1)
y∈ ˙
Y M
c
M [y] desc
˜
M,∗
η[y] ◦ ◦ transfert y ( ¯
μ).
Les applications ι
∗ de 7.1(10) disparaissent ici car les groupes G η et G
sont
simplement connexes. Le terme x(1) est le x(¯ s) de 7.1 pour ¯
s = 1. Le calcul de
la somme du membre de droite de (4) se poursuit comme en 7.1. Cette somme
vaut ρ
˜
G
J (transfert(δ), a). Mais, d’après nos hypothèses de récurrence, toutes les
propriétés sont connues pour le triplet (G, ˜
G, a). Donc
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
Il en résulte que μ = 0.
Soit ¯
ϕ ∈ SI(m 1 (F )) à support proche de 0. On l’identifie par l’exponentielle
à une fonction sur M 1 (F ) = ¯
M
(F ). On peut supposer que l’ensemble ˙
Y
M contient
l’élément y = 1. Pour celui-ci, M η[1] = M η est quasi-déployé et on a ¯
M
= M η[1] .
Modulo cette identification, le transfert transfert 1 est l’identité. On peut donc
considérer ¯
ϕ comme un élément de SI(M η[1] (F )), que l’on relève en un élément
ϕ 1 ∈ I(M η[1] (F )). On peut évidemment supposer que ϕ 1 est à support proche
de l’origine. L’application desc
˜
M
η[1] a pour image le sous-espace des éléments de
I(M η[1] (F )) qui sont invariants par l’action de Z M (η[1]; F ). Mais, parce que η[1] =
η conserve une paire de Borel épinglée de M et que T
θ est connexe, on a Z M (η[1]) =
M η[1] . L’application de descente est donc surjective et on peut relever ϕ 1 en un
élément ϕ ∈ I( ˜
M (F )). Toujours parce que Z M (η) est connexe, l’ensemble ˙
Y
M est
un ensemble de représentants des classes de conjugaison par M (F ) dans la classe
de conjugaison stable de η. On peut modifier ϕ de sorte que desc
˜
M
η[y] (ϕ) = 0 pour
tout y ∈ ˙
Y
M tel que y = 1. Il résulte alors de la définition de ϕ que l’on a l’égalité
I
˜
M (μ, ϕ) = S
M1 ( ¯
μ, ¯
ϕ).
Puisque μ = 0, ceci est nul. Puisque cela est vrai pour tout ¯
ϕ, on conclut ¯
μ = 0.
D’après la définition (3), cette nullité est l’assertion de la proposition 6.5.
Attention. On ne doit pas s’abuser : la démonstration ci-dessus s’appuie sur des hypothèses de récurrence. Elle ne deviendra une véritable démonstration que quand
toutes les étapes de la récurrence auront été établies.