III.7. Preuves conditionnelles de deux théorèmes
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diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η), où B
M = B ∩M . Reprenons les constructions et
notations de 7.1. En particulier, on fixe des mesures pour simplifier. Remarquons
que ¯
G = G η = G 1 , ¯
M = M η = M 1 , G 2 = G
= G
et M 2 = M
= M
.
On dispose d’éléments δ 1 et δ 2 . On peut identifier δ 2 à un élément de
D
st
unip (M
(F )). On pose
δ = desc
st,M
,∗
(δ 2 ).
La fonction B 2 s’identifie à B
˜
G
O . L’élément J de l’énoncé de la proposition 6.5, vu
comme un élément de J
G2
M2 (B 2 ), s’identifie à un élément de J
G
M
(B
˜
G
O ), qui s’envoie
sur un élément de J
˜
G
˜
M
que l’on note encore J. On reprend la preuve de 7.1 pour
ces éléments J et δ. Remarquons que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ ¯
M )
ΓF /Z( ˆ ¯
G)
ΓF ,
se simplifie en
(1)
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ ¯
M )
ΓF
puisque G et ¯
G sont simplement connexes, donc leurs duaux sont adjoints. La
preuve marche jusqu’au point où on avait utilisé l’hypothèse (2) du paragraphe
7.1. Pour un ˜
s ∈ ˆ
θZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ tel que G
(˜ s) n’est pas équivalent à G
, le lemme 6.2
et nos hypothèses de récurrence assurent que cette hypothèse est vérifiée. Il reste
les ˜
s tels que G
(˜ s) est équivalent à G
. Notons Z le noyau de l’homomorphisme
(1), c’est-à-dire Z = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). Montrons que
(2) l’ensemble des s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ tels que G
(s ˆ
θ) est équivalente à G
est égal à Z.
Supposons G
(s ˆ
θ) équivalente à G
. Il existe alors x ∈ ˆ
G tel que xG
(s ˆ
θ)x
−1 =
G ˆ
θ W F et xs ˆ
θx
−1 = ˆ
θ. Le même argument que dans la preuve de 7.4(2) montre
que l’on peut supposer x ∈ ˆ
T . Alors s = ( ˆ
θ − 1)(x) ∈ (1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). Donc s ∈ Z.
Inversement, supposons s ∈ Z. Ecrivons s = ( ˆ
θ−1)(x), avec x ∈ ˆ
T . On a xs ˆ
θx
−1 =
ˆ
θ. Cela entraîne x ˆ
G
(s ˆ
θ)x
−1 = ˆ
G ˆ
θ . Pour g ∈ ˆ
G
(s ˆ
θ) et w ∈ W F , on a xgw(x)
−1 =
xgx
−1 xw(x)
−1 . Le premier terme xgx
−1 appartient à ˆ
G ˆ
θ . L’égalité s = ( ˆ
θ − 1)(x)
et le fait que s est invariant par Γ F entraîne que xw(x)
−1 appartient à ˆ
T
ˆ
θ , qui est
contenu dans ˆ
G ˆ
θ . Donc xgw(x)
−1
∈ ˆ
G ˆ
θ . Cela prouve que xG
(s ˆ
θ)x
−1 = G ˆ
θ W F ,
donc G
(s ˆ
θ) est équivalente à G
. D’où (2).
Considérons un ˜
s tel que G
(˜ s) soit équivalent à G
. D’après (2), cela équivaut
à ¯
s = 1. Alors G
(˜ s) est isomorphe à G 2 , M
(˜ s) est isomorphe à M 2 , ¯
G
(¯ s) est
isomorphe à G 1 et ¯
M
est isomorphe à M 1 . L’élément noté δ(˜ s) ,sc en 7.1 n’est
autre que δ 2 . L’élément ¯
δ(¯ s) sc est égal à δ 1 . L’élément τ (˜ s) sc est égal à σ
G2
J (δ 2 , a).
On ne peut plus affirmer que son transfert ¯
τ (¯ s) sc est égal à (c
G1,G2
M1,M2 )
−1 σ
G1
J (δ 1 , a).
Mais on peut écrire ce transfert sous la forme
(c
G1,G2
M1,M2 )
−1 ( ¯
μ + σ
G1
J (δ 1 , a)),
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diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η), où B
M = B ∩M . Reprenons les constructions et
notations de 7.1. En particulier, on fixe des mesures pour simplifier. Remarquons
que ¯
G = G η = G 1 , ¯
M = M η = M 1 , G 2 = G
= G
et M 2 = M
= M
.
On dispose d’éléments δ 1 et δ 2 . On peut identifier δ 2 à un élément de
D
st
unip (M
(F )). On pose
δ = desc
st,M
,∗
(δ 2 ).
La fonction B 2 s’identifie à B
˜
G
O . L’élément J de l’énoncé de la proposition 6.5, vu
comme un élément de J
G2
M2 (B 2 ), s’identifie à un élément de J
G
M
(B
˜
G
O ), qui s’envoie
sur un élément de J
˜
G
˜
M
que l’on note encore J. On reprend la preuve de 7.1 pour
ces éléments J et δ. Remarquons que l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ ¯
M )
ΓF /Z( ˆ ¯
G)
ΓF ,
se simplifie en
(1)
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ ¯
M )
ΓF
puisque G et ¯
G sont simplement connexes, donc leurs duaux sont adjoints. La
preuve marche jusqu’au point où on avait utilisé l’hypothèse (2) du paragraphe
7.1. Pour un ˜
s ∈ ˆ
θZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ tel que G
(˜ s) n’est pas équivalent à G
, le lemme 6.2
et nos hypothèses de récurrence assurent que cette hypothèse est vérifiée. Il reste
les ˜
s tels que G
(˜ s) est équivalent à G
. Notons Z le noyau de l’homomorphisme
(1), c’est-à-dire Z = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). Montrons que
(2) l’ensemble des s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ tels que G
(s ˆ
θ) est équivalente à G
est égal à Z.
Supposons G
(s ˆ
θ) équivalente à G
. Il existe alors x ∈ ˆ
G tel que xG
(s ˆ
θ)x
−1 =
G ˆ
θ W F et xs ˆ
θx
−1 = ˆ
θ. Le même argument que dans la preuve de 7.4(2) montre
que l’on peut supposer x ∈ ˆ
T . Alors s = ( ˆ
θ − 1)(x) ∈ (1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). Donc s ∈ Z.
Inversement, supposons s ∈ Z. Ecrivons s = ( ˆ
θ−1)(x), avec x ∈ ˆ
T . On a xs ˆ
θx
−1 =
ˆ
θ. Cela entraîne x ˆ
G
(s ˆ
θ)x
−1 = ˆ
G ˆ
θ . Pour g ∈ ˆ
G
(s ˆ
θ) et w ∈ W F , on a xgw(x)
−1 =
xgx
−1 xw(x)
−1 . Le premier terme xgx
−1 appartient à ˆ
G ˆ
θ . L’égalité s = ( ˆ
θ − 1)(x)
et le fait que s est invariant par Γ F entraîne que xw(x)
−1 appartient à ˆ
T
ˆ
θ , qui est
contenu dans ˆ
G ˆ
θ . Donc xgw(x)
−1
∈ ˆ
G ˆ
θ . Cela prouve que xG
(s ˆ
θ)x
−1 = G ˆ
θ W F ,
donc G
(s ˆ
θ) est équivalente à G
. D’où (2).
Considérons un ˜
s tel que G
(˜ s) soit équivalent à G
. D’après (2), cela équivaut
à ¯
s = 1. Alors G
(˜ s) est isomorphe à G 2 , M
(˜ s) est isomorphe à M 2 , ¯
G
(¯ s) est
isomorphe à G 1 et ¯
M
est isomorphe à M 1 . L’élément noté δ(˜ s) ,sc en 7.1 n’est
autre que δ 2 . L’élément ¯
δ(¯ s) sc est égal à δ 1 . L’élément τ (˜ s) sc est égal à σ
G2
J (δ 2 , a).
On ne peut plus affirmer que son transfert ¯
τ (¯ s) sc est égal à (c
G1,G2
M1,M2 )
−1 σ
G1
J (δ 1 , a).
Mais on peut écrire ce transfert sous la forme
(c
G1,G2
M1,M2 )
−1 ( ¯
μ + σ
G1
J (δ 1 , a)),