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Chapitre III. Réductions et preuves
(iii) Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ), notons O
˜
G
la classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ) qui contient O. Alors le germe
Sg
˜
G
˜
M,O
(., B) prend ses valeurs dans l’espace D
st
g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Preuve. Pour la preuve de (i), on utilise le même argument qu’en 7.4. On sait
comment se comportent nos termes par induction, grâce à la proposition [II] 3.11.
On se ramène alors au cas où la proposition 7.3 s’applique.
Prouvons (ii). Par linéarité, on peut fixer une classe de conjugaison stable
semi-simple O dans ˜
M (F ) et supposer que δ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Soit
f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Supposons que les intégrales orbitales stables fortement régulières de f sont nulles, autrement dit que l’image de f dans SI( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )) est nulle. Soit a ∈ A M (F ) en position générale. Remarquons que le
(i) déjà prouvé assure la validité de la proposition [II] 3.5. La proposition 3.7 (ii)
calcule le germe en 1 de la fonction
(1)
a → S
˜
G
˜
M
(aδ, f ).
Il est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
S
˜
G
˜
L
(σ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f ).
L’hypothèse sur f et nos hypothèses de recurrence assurent que tous les termes
sont nuls sauf celui indexé par ˜
M . L’expression ci-dessus se réduit à S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ).
Or (1) est nul d’après la proposition 2.8. Donc S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = 0. Cette égalité pour
tout f d’image nulle dans SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) est équivalente à l’assertion (ii).
Le (iii) s’en déduit comme en 7.4 en utilisant le lemme [II] 2.9.
III.7.7 Preuve de la proposition 6.5
On se place sous les hypothèses de cette proposition, dont on utilise les notations. D’après le lemme 6.7, on peut supposer (G 1 , G 2 , j ∗ ) quasi-élémentaire et
B 1 constante de valeur 1. On introduit le triplet (G, ˜
G, a) associé à (G 1 , G 2 , j ∗ )
comme en 6.2. On fixe un élément η ∈ ˜
G(F ) qui conserve une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G définie sur F . De cette paire se déduit une paire de
Borel épinglée de G η définie sur F . On peut identifier G 1 à G η de sorte que le Levi
M 1 devienne un Levi de G η standard pour cette paire de Borel épinglée. On note
˜
M le commutant dans ˜
G du tore A M1 . On a η ∈ ˜
M (F ) et M est standard pour
E. On introduit les données endoscopiques maximales G
= (G
, ˆ
G ˆ
θ W F , ˆ
θ) de
(G, ˜
G, a) et M
= (M
, ˆ
M ˆ
θ W F , ˆ
θ) de (M, ˜
M , a). Remarquons que G
est aussi
la donnée G
( ˆ
θ) déduite de M
et de l’élément ˜
s = ˆ
θ. Comme en 6.2, l’élément
η ∈ ˜
G(F ) détermine un élément ∈ Z( ˜
G
)
ΓF . Si l’on remplace les espaces ambiants ˜
G et ˜
G
par ˜
M et ˜
M
, on obtient évidemment le même élément . On fixe un
Chapitre III. Réductions et preuves
(iii) Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ), notons O
˜
G
la classe de conjugaison stable dans ˜
G(F ) qui contient O. Alors le germe
Sg
˜
G
˜
M,O
(., B) prend ses valeurs dans l’espace D
st
g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Preuve. Pour la preuve de (i), on utilise le même argument qu’en 7.4. On sait
comment se comportent nos termes par induction, grâce à la proposition [II] 3.11.
On se ramène alors au cas où la proposition 7.3 s’applique.
Prouvons (ii). Par linéarité, on peut fixer une classe de conjugaison stable
semi-simple O dans ˜
M (F ) et supposer que δ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Soit
f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Supposons que les intégrales orbitales stables fortement régulières de f sont nulles, autrement dit que l’image de f dans SI( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )) est nulle. Soit a ∈ A M (F ) en position générale. Remarquons que le
(i) déjà prouvé assure la validité de la proposition [II] 3.5. La proposition 3.7 (ii)
calcule le germe en 1 de la fonction
(1)
a → S
˜
G
˜
M
(aδ, f ).
Il est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
S
˜
G
˜
L
(σ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f ).
L’hypothèse sur f et nos hypothèses de recurrence assurent que tous les termes
sont nuls sauf celui indexé par ˜
M . L’expression ci-dessus se réduit à S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ).
Or (1) est nul d’après la proposition 2.8. Donc S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = 0. Cette égalité pour
tout f d’image nulle dans SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) est équivalente à l’assertion (ii).
Le (iii) s’en déduit comme en 7.4 en utilisant le lemme [II] 2.9.
III.7.7 Preuve de la proposition 6.5
On se place sous les hypothèses de cette proposition, dont on utilise les notations. D’après le lemme 6.7, on peut supposer (G 1 , G 2 , j ∗ ) quasi-élémentaire et
B 1 constante de valeur 1. On introduit le triplet (G, ˜
G, a) associé à (G 1 , G 2 , j ∗ )
comme en 6.2. On fixe un élément η ∈ ˜
G(F ) qui conserve une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G définie sur F . De cette paire se déduit une paire de
Borel épinglée de G η définie sur F . On peut identifier G 1 à G η de sorte que le Levi
M 1 devienne un Levi de G η standard pour cette paire de Borel épinglée. On note
˜
M le commutant dans ˜
G du tore A M1 . On a η ∈ ˜
M (F ) et M est standard pour
E. On introduit les données endoscopiques maximales G
= (G
, ˆ
G ˆ
θ W F , ˆ
θ) de
(G, ˜
G, a) et M
= (M
, ˆ
M ˆ
θ W F , ˆ
θ) de (M, ˜
M , a). Remarquons que G
est aussi
la donnée G
( ˆ
θ) déduite de M
et de l’élément ˜
s = ˆ
θ. Comme en 6.2, l’élément
η ∈ ˜
G(F ) détermine un élément ∈ Z( ˜
G
)
ΓF . Si l’on remplace les espaces ambiants ˜
G et ˜
G
par ˜
M et ˜
M
, on obtient évidemment le même élément . On fixe un