III.7. Preuves conditionnelles de deux théorèmes
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Comme ci-dessus, l’hypothèse (1) entraîne que (3) est nul donc aussi cette différence. C’est la conclusion de (ii).
Comme on l’a vu ci-dessus, l’hypothèse (1) entraine que l’hypothèse du lemme
[II] 2.8 est vérifiée pour l’ensemble D = D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Le
(i) de ce lemme aussi d’après l’assertion (ii) du présent énoncé. Donc aussi le (ii)
de ce lemme, qui n’est autre que la présente assertion (iii).
III.7.5 Preuve du théorème [II] 1.16(ii)
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un système
de fonctions B, un espace de Levi ˜
M de ˜
G.
Proposition.
(i) Soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M ) et soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(F ) se transférant en
une classe de conjugaison stable O de ˜
M (F ). Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), tout
δ ∈ D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et tout a ∈ A M (F ) en position générale
et proche de 1, on a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
(ii) Pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, B, a).
La preuve est identique à celle de la proposition précédente, en plus simple
puisque notre triplet ne saurait être l’un de ceux définis en 6.2. On n’a plus besoin
de l’hypothèse (1) de ce paragraphe : elle est vérifiée d’après la proposition 2.9.
III.7.6 Preuve des propositions [II] 2.4, [II] 3.5
et du théorème [II] 1.10
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un système
de fonctions B, un espace de Levi ˜
M de ˜
G.
Proposition.
(i) Soit O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ). Pour tout
J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), le terme σ
˜
G
J prend ses valeurs dans
U J ⊗ (D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
st, ˜
G
O
.
(ii) Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , la distribution
f → S
˜
G
˜
M
(δ, B, f )
est stable.