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Chapitre III. Réductions et preuves
J
˜
G
˜
M
. La proposition 7.1 nous dit donc que l’égalité du (i) est vérifiée sauf pour
cet élément maximal. On abandonne notre J initial et on note J max l’élément
maximal. Soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et a ∈ A ˜
M (F ) en position générale.
Posons γ = transfert(δ). Les propositions [II] 3.2 et [II] 3.9 entraînent que le germe
en 1 de la fonction
(3)
a → I
˜
G
˜
M
(aγ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(aγ, f ) = I
˜
G
˜
M
(aγ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(M
, ξ(a)δ, f )
est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
I
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
L , f ) − I
˜
G,E
˜
L
(ρ
˜
L,E
J (M
, δ, a)
˜
L , f ).
En vertu de nos hypothèses de récurrence, les termes indexés par ˜
L = ˜
M et
˜
L = ˜
G s’annulent. Ceux indexés par ˜
L = ˜
G et un J = J max s’annulent aux-aussi.
L’expression ci-dessus se réduit à
(4)
I
˜
G (ρ
˜
G
Jmax (γ, a)
˜
G
− ρ
˜
G,E
Jmax (M
, δ, a)
˜
G , f )
+I
˜
G
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ).
D’après la proposition [II] 2.10, l’hypothèse (1) entraîne la même égalité que dans
cette hypothèse pour les distributions à support ˜
G-équisingulier. C’est le cas de la
distribution aγ. Donc l’expression (3) est nulle. Considérons (4). Comme fonction
de a, le premier terme appartient à U Jmax et le second est constant. Leur somme
est équivalente à 0. En utilisant [II] 3.1(3), les deux termes sont nuls (en supposant
˜
M = ˜
G ; si ˜
M = ˜
G, l’assertion à prouver est tautologique). La nullité du premier
pour tout f signifie que
ρ
˜
G
Jmax (γ, a) − ρ
˜
G,E
Jmax (M
, δ, a)
modulo Ann
˜
G . Cela achève la preuve de (i).
Prouvons (ii). Par linéarité, on peut supposer qu’il existe une donnée endoscopique M
de (M, ˜
M , a) elliptique et relevante et un élément δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗
Mes(M
(F ))
∗ de sorte que γ = transfert(δ). Toujours par linéarité, on peut
fixer une classe de conjugaison stable semi-simple O
dans ˜
M
(F ) telle que δ ∈
D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . On peut supposer que cette classe se transfère en
une classe de ˜
M (F ), sinon γ = 0 et l’égalité à prouver est triviale. On reprend
alors le raisonnement ci-dessus. Pour f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et a ∈ A ˜
M (F )
en position générale, on calcule le développement de (3). Maintenant que l’on a
prouvé (i), ce développement se réduit à
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ),
ou encore à
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ).
Chapitre III. Réductions et preuves
J
˜
G
˜
M
. La proposition 7.1 nous dit donc que l’égalité du (i) est vérifiée sauf pour
cet élément maximal. On abandonne notre J initial et on note J max l’élément
maximal. Soit f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et a ∈ A ˜
M (F ) en position générale.
Posons γ = transfert(δ). Les propositions [II] 3.2 et [II] 3.9 entraînent que le germe
en 1 de la fonction
(3)
a → I
˜
G
˜
M
(aγ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(aγ, f ) = I
˜
G
˜
M
(aγ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(M
, ξ(a)δ, f )
est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
I
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
L , f ) − I
˜
G,E
˜
L
(ρ
˜
L,E
J (M
, δ, a)
˜
L , f ).
En vertu de nos hypothèses de récurrence, les termes indexés par ˜
L = ˜
M et
˜
L = ˜
G s’annulent. Ceux indexés par ˜
L = ˜
G et un J = J max s’annulent aux-aussi.
L’expression ci-dessus se réduit à
(4)
I
˜
G (ρ
˜
G
Jmax (γ, a)
˜
G
− ρ
˜
G,E
Jmax (M
, δ, a)
˜
G , f )
+I
˜
G
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ).
D’après la proposition [II] 2.10, l’hypothèse (1) entraîne la même égalité que dans
cette hypothèse pour les distributions à support ˜
G-équisingulier. C’est le cas de la
distribution aγ. Donc l’expression (3) est nulle. Considérons (4). Comme fonction
de a, le premier terme appartient à U Jmax et le second est constant. Leur somme
est équivalente à 0. En utilisant [II] 3.1(3), les deux termes sont nuls (en supposant
˜
M = ˜
G ; si ˜
M = ˜
G, l’assertion à prouver est tautologique). La nullité du premier
pour tout f signifie que
ρ
˜
G
Jmax (γ, a) − ρ
˜
G,E
Jmax (M
, δ, a)
modulo Ann
˜
G . Cela achève la preuve de (i).
Prouvons (ii). Par linéarité, on peut supposer qu’il existe une donnée endoscopique M
de (M, ˜
M , a) elliptique et relevante et un élément δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗
Mes(M
(F ))
∗ de sorte que γ = transfert(δ). Toujours par linéarité, on peut
fixer une classe de conjugaison stable semi-simple O
dans ˜
M
(F ) telle que δ ∈
D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . On peut supposer que cette classe se transfère en
une classe de ˜
M (F ), sinon γ = 0 et l’égalité à prouver est triviale. On reprend
alors le raisonnement ci-dessus. Pour f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et a ∈ A ˜
M (F )
en position générale, on calcule le développement de (3). Maintenant que l’on a
prouvé (i), ce développement se réduit à
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ),
ou encore à
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ).