III.7. Preuves conditionnelles de deux théorèmes
403
que G est simplement connexe. Considérons un triplet endoscopique non standard ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) comme en 7.1. D’après le lemme 6.2, on sait dans
quels cas les propriétés de ce triplet ne sont pas connues. Supposons que l’on
soit dans un tel cas. Alors la donnée G
(˜ s) est équivalente à la donnée maximale
G
= (G
, ˆ
G ˆ
θ W F , ˆ
θ) définie en 6.2, ad η conserve une paire de Borel épinglée
de G et est l’élément de Z( ˜
G
(˜ s))
ΓF qui correspond à η par l’application de [I]
1.3(7). Montrons que cela entraîne
(2) M
est équivalente à la donnée endoscopique maximale de (M, ˜
M , a), ad η
conserve une paire de Borel épinglée de M et est l’élement de Z( ˜
M
)
ΓF qui
correspond à η.
Avec les notations habituelles, on peut supposer ˜
ζ = ζ ˆ
θ, avec ζ ∈ ˆ
T et on
écrit ˜
s = zζ ˆ
θ, avec z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . Puisque G
(˜ s) est équivalent à la donnée
maximale G
, on peut fixer x ∈ ˆ
G tel que xG
(˜ s)x
−1 = ˆ
G ˆ
θ W F et xzζ ˆ
θx
−1 = ˆ
θ.
En particulier, ad x envoie ˆ
G
(˜ s) sur ˆ
G ˆ
θ . Quitte à multiplier x à gauche par un
élément de ˆ
G ˆ
θ , on peut supposer que ad x envoie la paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
G
(˜ s), ˆ
T
ˆ
θ )
de ˆ
G
(˜ s) sur la paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
G ˆ
θ , ˆ
T
ˆ
θ ) de ˆ
G ˆ
θ . Alors x normalise ˆ
T et son
image dans W est fixe par ˆ
θ. Or le groupe W
ˆ
θ est le groupe de Weyl de ˆ
G ˆ
θ . Quitte
à multiplier encore x à gauche par un élément de ce groupe, on peut supposer
que l’image de x dans W est 1, autrement dit que x ∈ ˆ
T . Mais alors x ∈ ˆ
M et
la conjugaison par x conserve
L M . En prenant les intersections avec ce groupe,
la relation xG
(˜ s)x
−1 = ˆ
G ˆ
θ W F entraîne que xM
x
−1 = ˆ
M ˆ
θ W F . On a aussi
xζ ˆ
θx
−1 = s
−1 ˆ
θ ∈ Z( ˆ
M ) ˆ
θ. Donc M
est équivalente à la donnée maximale de
(M, ˜
M , a). Soit E 0 = (B 0 , T 0 , (E α ) α∈Δ ) une paire de Borel épinglée de G qui est
conservée par ad η . Puisque η est un élément semi-simple de ˜
M , on peut aussi fixer
une paire de Borel (B, T ) de G, pour laquelle M est standard et qui est conservée
par ad η . D’après la preuve de [I] 1.3(6), il existe x ∈ G η tel que ad x (B 0 , T 0 ) =
(B, T ). Alors E = ad x (E 0 ) est une paire de Borel épinglée de G qui est conservée
par ad η . Or M est standard pour cette paire. On peut donc «restreindre» celle-ci
à M et on obtient une paire de Borel épinglée E
M de M qui est conservée par ad η .
De plus, il résulte des constructions que le diagramme suivant est commutatif
Z( ˜
G, E)
→ Z( ˜
G
)
↓
↓
Z( ˜
M, E
M ) → Z( ˜
M
)
La dernière assertion de (2) en résulte. Cela prouve cette assertion.
On a alors G
(˜ s) G
et M
= M
et la classe de conjugaison stable de est
réduite à ce point. On vérifie facilement que l’élément maximal de J
˜
G
(˜ s)
˜
M
(B
˜
G
{} )
s’envoie sur l’élément maximal de J
˜
G
˜
M
. D’après la propriété 6.5(2), l’assertion de
la proposition 6.5 est connue pour un élément non maximal de J
˜
G
(˜ s)
˜
M
(B
˜
G
{} ). Il
en résulte que l’hypothèse 7.1(2) est vérifiée si J n’est pas l’élément maximal de
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que G est simplement connexe. Considérons un triplet endoscopique non standard ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) comme en 7.1. D’après le lemme 6.2, on sait dans
quels cas les propriétés de ce triplet ne sont pas connues. Supposons que l’on
soit dans un tel cas. Alors la donnée G
(˜ s) est équivalente à la donnée maximale
G
= (G
, ˆ
G ˆ
θ W F , ˆ
θ) définie en 6.2, ad η conserve une paire de Borel épinglée
de G et est l’élément de Z( ˜
G
(˜ s))
ΓF qui correspond à η par l’application de [I]
1.3(7). Montrons que cela entraîne
(2) M
est équivalente à la donnée endoscopique maximale de (M, ˜
M , a), ad η
conserve une paire de Borel épinglée de M et est l’élement de Z( ˜
M
)
ΓF qui
correspond à η.
Avec les notations habituelles, on peut supposer ˜
ζ = ζ ˆ
θ, avec ζ ∈ ˆ
T et on
écrit ˜
s = zζ ˆ
θ, avec z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . Puisque G
(˜ s) est équivalent à la donnée
maximale G
, on peut fixer x ∈ ˆ
G tel que xG
(˜ s)x
−1 = ˆ
G ˆ
θ W F et xzζ ˆ
θx
−1 = ˆ
θ.
En particulier, ad x envoie ˆ
G
(˜ s) sur ˆ
G ˆ
θ . Quitte à multiplier x à gauche par un
élément de ˆ
G ˆ
θ , on peut supposer que ad x envoie la paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
G
(˜ s), ˆ
T
ˆ
θ )
de ˆ
G
(˜ s) sur la paire de Borel ( ˆ
B ∩ ˆ
G ˆ
θ , ˆ
T
ˆ
θ ) de ˆ
G ˆ
θ . Alors x normalise ˆ
T et son
image dans W est fixe par ˆ
θ. Or le groupe W
ˆ
θ est le groupe de Weyl de ˆ
G ˆ
θ . Quitte
à multiplier encore x à gauche par un élément de ce groupe, on peut supposer
que l’image de x dans W est 1, autrement dit que x ∈ ˆ
T . Mais alors x ∈ ˆ
M et
la conjugaison par x conserve
L M . En prenant les intersections avec ce groupe,
la relation xG
(˜ s)x
−1 = ˆ
G ˆ
θ W F entraîne que xM
x
−1 = ˆ
M ˆ
θ W F . On a aussi
xζ ˆ
θx
−1 = s
−1 ˆ
θ ∈ Z( ˆ
M ) ˆ
θ. Donc M
est équivalente à la donnée maximale de
(M, ˜
M , a). Soit E 0 = (B 0 , T 0 , (E α ) α∈Δ ) une paire de Borel épinglée de G qui est
conservée par ad η . Puisque η est un élément semi-simple de ˜
M , on peut aussi fixer
une paire de Borel (B, T ) de G, pour laquelle M est standard et qui est conservée
par ad η . D’après la preuve de [I] 1.3(6), il existe x ∈ G η tel que ad x (B 0 , T 0 ) =
(B, T ). Alors E = ad x (E 0 ) est une paire de Borel épinglée de G qui est conservée
par ad η . Or M est standard pour cette paire. On peut donc «restreindre» celle-ci
à M et on obtient une paire de Borel épinglée E
M de M qui est conservée par ad η .
De plus, il résulte des constructions que le diagramme suivant est commutatif
Z( ˜
G, E)
→ Z( ˜
G
)
↓
↓
Z( ˜
M, E
M ) → Z( ˜
M
)
La dernière assertion de (2) en résulte. Cela prouve cette assertion.
On a alors G
(˜ s) G
et M
= M
et la classe de conjugaison stable de est
réduite à ce point. On vérifie facilement que l’élément maximal de J
˜
G
(˜ s)
˜
M
(B
˜
G
{} )
s’envoie sur l’élément maximal de J
˜
G
˜
M
. D’après la propriété 6.5(2), l’assertion de
la proposition 6.5 est connue pour un élément non maximal de J
˜
G
(˜ s)
˜
M
(B
˜
G
{} ). Il
en résulte que l’hypothèse 7.1(2) est vérifiée si J n’est pas l’élément maximal de