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Chapitre III. Réductions et preuves
en une classe de conjugaison stable O de ˜
M (F ). Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
, tout
δ ∈ D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale
et proche de 1, on a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
(ii) Pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, a).
(iii) Pour toute classe de conjugaison stable semi-simple O dans ˜
M (F ), on a
l’égalité g
˜
G,E
˜
M,O
= g
˜
G
˜
M,O
.
Preuve. Considérons la situation de (i). Fixons un diagramme (,B
M
,T
,B
M ,T,η)
reliant un élément ∈ O
tel que M
soit quasi-déployé à un élément η ∈ O.
Supposons d’abord que A M
= A M . Introduisons le commutant ˜
R
de A M
dans
˜
M
. C’est un espace de Levi propre. Du diagramme se déduit un homomorphisme
ξ : T
θ,0
→ T
qui est une isogénie et est équivariant pour les actions galoisiennes.
On a A M
⊂ T
. La composante neutre de ξ
−1 (A M
) est un tore déployé. On note
˜
R son commutant dans ˜
M . C’est un espace de Levi propre qui correspond à ˜
R
.
En posant B
R
= B
M
∩ R
et B
R = B
M
∩ R, le sextuplet (, B
R
, T
, B
R , T, η) est
encore un diagramme, avec pour espaces ambiants ˜
R et ˜
R
. Le Levi R
se complète
en une donnée endoscopique R
de (R, ˜
R, a) qui est elliptique et relevante. On a
M
= R
par construction. L’application desc
st, ˜
M
,∗
est la composée de desc
st, ˜
R
,∗
et de l’induction de ˜
R
à ˜
M
. Puisque tout élément de D
st
g´ eom (O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
appartient à l’image de desc
st, ˜
M
,∗
, tout tel élément est l’induit d’un élément de
D
st
g´ eom (O ˜
R ) ⊗ Mes(R
(F ))
∗ , où O ˜
R = O
∩ ˜
R
(F ). Ceci s’adapte formellement aux
données endoscopiques. Donc δ = τ
M
pour un élément τ ∈ D
st
g´ eom (R
, O ˜
R ) ⊗
Mes(R
(F ))
∗ . On a alors
transfert(δ) = (transfert(τ ))
˜
M .
Les deux membres de l’égalité du (i) vérifient les formules de descente parallèles
[II] 3.10 et [II] 3.12. On voit que cette égalité du (i) résulte d’égalités similaires où
˜
G est remplacé par des espaces de Levi propres. En vertu de nos hypothèses de
récurrence, ces égalités sont vérifiées, d’où (i) dans ce cas.
Supposons maintenant A M
= A M . Comme on l’a expliqué en 6.3, si
(G, ˜
G, a) n’est pas l’un des triplets définis en 6.2, les données endoscopiques non
standard qui apparaissent en 7.1 vérifient toutes les propriétés requises. Donc
l’hypothèse (2) de 7.1 est vérifiée. L’assertion (i) résulte alors de cette proposition 7.1. Supposons que (G, ˜
G, a) soit l’un des triplets définis en 6.2. Rappelons
Chapitre III. Réductions et preuves
en une classe de conjugaison stable O de ˜
M (F ). Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
, tout
δ ∈ D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale
et proche de 1, on a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
(ii) Pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, a).
(iii) Pour toute classe de conjugaison stable semi-simple O dans ˜
M (F ), on a
l’égalité g
˜
G,E
˜
M,O
= g
˜
G
˜
M,O
.
Preuve. Considérons la situation de (i). Fixons un diagramme (,B
M
,T
,B
M ,T,η)
reliant un élément ∈ O
tel que M
soit quasi-déployé à un élément η ∈ O.
Supposons d’abord que A M
= A M . Introduisons le commutant ˜
R
de A M
dans
˜
M
. C’est un espace de Levi propre. Du diagramme se déduit un homomorphisme
ξ : T
θ,0
→ T
qui est une isogénie et est équivariant pour les actions galoisiennes.
On a A M
⊂ T
. La composante neutre de ξ
−1 (A M
) est un tore déployé. On note
˜
R son commutant dans ˜
M . C’est un espace de Levi propre qui correspond à ˜
R
.
En posant B
R
= B
M
∩ R
et B
R = B
M
∩ R, le sextuplet (, B
R
, T
, B
R , T, η) est
encore un diagramme, avec pour espaces ambiants ˜
R et ˜
R
. Le Levi R
se complète
en une donnée endoscopique R
de (R, ˜
R, a) qui est elliptique et relevante. On a
M
= R
par construction. L’application desc
st, ˜
M
,∗
est la composée de desc
st, ˜
R
,∗
et de l’induction de ˜
R
à ˜
M
. Puisque tout élément de D
st
g´ eom (O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
appartient à l’image de desc
st, ˜
M
,∗
, tout tel élément est l’induit d’un élément de
D
st
g´ eom (O ˜
R ) ⊗ Mes(R
(F ))
∗ , où O ˜
R = O
∩ ˜
R
(F ). Ceci s’adapte formellement aux
données endoscopiques. Donc δ = τ
M
pour un élément τ ∈ D
st
g´ eom (R
, O ˜
R ) ⊗
Mes(R
(F ))
∗ . On a alors
transfert(δ) = (transfert(τ ))
˜
M .
Les deux membres de l’égalité du (i) vérifient les formules de descente parallèles
[II] 3.10 et [II] 3.12. On voit que cette égalité du (i) résulte d’égalités similaires où
˜
G est remplacé par des espaces de Levi propres. En vertu de nos hypothèses de
récurrence, ces égalités sont vérifiées, d’où (i) dans ce cas.
Supposons maintenant A M
= A M . Comme on l’a expliqué en 6.3, si
(G, ˜
G, a) n’est pas l’un des triplets définis en 6.2, les données endoscopiques non
standard qui apparaissent en 7.1 vérifient toutes les propriétés requises. Donc
l’hypothèse (2) de 7.1 est vérifiée. L’assertion (i) résulte alors de cette proposition 7.1. Supposons que (G, ˜
G, a) soit l’un des triplets définis en 6.2. Rappelons