III.7. Preuves conditionnelles de deux théorèmes
401
La relation 7.1(3) devient
(1)
ρ
˜
G,E
J (M, δ, a) =
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,J∈J
˜
G (s)
˜
M
(B)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))σ
˜
G
(s)
J
(δ, a).
Le seul point qui diffère de la situation de 7.1 est que l’on ne peut plus utiliser de
relation de descente pour le terme σ
˜
G
J (δ, a) correspondant à s = 1. Mais on peut
néanmoins appliquer cette relation de descente, à condition d’ajouter à l’expression
obtenue la différence entre σ
˜
G
J (δ, a) et le terme obtenu par descente. C’est-à-dire,
posons
x =
σ
˜
G
J (δ, a) − e
˜
G
˜
M
(η) desc
st, ˜
M,∗
η
(σ
Gη
J (δ, a)), si A G = A Gη ,
σ
˜
G
J (δ, a),
sinon.
Alors le membre de droite de (1) est la somme de x et d’une expression qui se
calcule comme en 7.1. Rappelons que l’hypothèse (2) de ce paragraphe est automatiquement vérifiée dans notre situation quasi-déployée et à torsion intérieure.
On obtient finalement l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M, δ, a) = x + ρ
˜
G
J (M, δ, a).
Mais, pour la donnée endoscopique maximale M, on a tautologiquement l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M, δ, a) = ρ
˜
G
J (M, δ, a)
car le terme σ
˜
G
J (δ, a) est défini pour qu’il en soit ainsi. D’où x = 0, ce qu’affirme
le (i) de l’énoncé.
Le membre de droite de l’égalité du (i) est par définition une distribution
stable. Le (ii) en résulte.
III.7.4 Preuve conditionnelle des propositions [II] 2.7, [II] 3.8
et du théorème [II] 1.16(i)
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque et un espace de Levi ˜
M de ˜
G. On
considère l’hypothèse
(1) pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support formé d’éléments
˜
G-fortement réguliers et pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω)⊗Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, a).
Proposition. On suppose cette hypothèse vérifiée.
(i) Soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M , a) et soit
O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(F ) se transférant
401
La relation 7.1(3) devient
(1)
ρ
˜
G,E
J (M, δ, a) =
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,J∈J
˜
G (s)
˜
M
(B)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))σ
˜
G
(s)
J
(δ, a).
Le seul point qui diffère de la situation de 7.1 est que l’on ne peut plus utiliser de
relation de descente pour le terme σ
˜
G
J (δ, a) correspondant à s = 1. Mais on peut
néanmoins appliquer cette relation de descente, à condition d’ajouter à l’expression
obtenue la différence entre σ
˜
G
J (δ, a) et le terme obtenu par descente. C’est-à-dire,
posons
x =
σ
˜
G
J (δ, a) − e
˜
G
˜
M
(η) desc
st, ˜
M,∗
η
(σ
Gη
J (δ, a)), si A G = A Gη ,
σ
˜
G
J (δ, a),
sinon.
Alors le membre de droite de (1) est la somme de x et d’une expression qui se
calcule comme en 7.1. Rappelons que l’hypothèse (2) de ce paragraphe est automatiquement vérifiée dans notre situation quasi-déployée et à torsion intérieure.
On obtient finalement l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M, δ, a) = x + ρ
˜
G
J (M, δ, a).
Mais, pour la donnée endoscopique maximale M, on a tautologiquement l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M, δ, a) = ρ
˜
G
J (M, δ, a)
car le terme σ
˜
G
J (δ, a) est défini pour qu’il en soit ainsi. D’où x = 0, ce qu’affirme
le (i) de l’énoncé.
Le membre de droite de l’égalité du (i) est par définition une distribution
stable. Le (ii) en résulte.
III.7.4 Preuve conditionnelle des propositions [II] 2.7, [II] 3.8
et du théorème [II] 1.16(i)
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quelconque et un espace de Levi ˜
M de ˜
G. On
considère l’hypothèse
(1) pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support formé d’éléments
˜
G-fortement réguliers et pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω)⊗Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, a).
Proposition. On suppose cette hypothèse vérifiée.
(i) Soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M , a) et soit
O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(F ) se transférant